Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18993 / 15470
↖ ↑ ↗
← N  9.990491°
E 28.663330°		 ← 1 203.11 m → N  9.990491°
E 28.674316°		 →
↑
1 203.10 m
↓
↑
1 203.10 m
↓
N  9.979671°
E 28.663330°		 ← 1 203.15 m →
1 447 491 m²		 N  9.979671°
E 28.674316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579635620117188 y=0.472122192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579635620117188 × 215)
    floor (0.579635620117188 × 32768)
    floor (18993.5)     		tx = 18993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472122192382812 × 215)
    floor (0.472122192382812 × 32768)
    floor (15470.5)     		ty = 15470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18993 / 15470 ti = "15/18993/15470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18993/15470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18993 ÷ 215
    18993 ÷ 32768     		x = 0.579620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15470 ÷ 215
    15470 ÷ 32768     		y = 0.47210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579620361328125 × 2 - 1) × π
    0.15924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50026948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47210693359375 × 2 - 1) × π
    0.0557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.175257305010925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50026948} λ = 0.50026948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.175257305010925))-π/2
    2×atan(1.19155276967027)-π/2
    2×0.872581642596876-π/2
    1.74516328519375-1.57079632675     		φ = 0.17436696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50026948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.663330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17436696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.990491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18993 KachelY 15470 0.50026948 0.17436696 28.663330 9.990491
    Oben rechts KachelX + 1 18994 KachelY 15470 0.50046123 0.17436696 28.674316 9.990491
    Unten links KachelX 18993 KachelY + 1 15471 0.50026948 0.17417812 28.663330 9.979671
    Unten rechts KachelX + 1 18994 KachelY + 1 15471 0.50046123 0.17417812 28.674316 9.979671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17436696-0.17417812) × R
    0.000188839999999996 × 6371000     		dl = 1203.09963999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17436696-0.17417812) × R
    0.000188839999999996 × 6371000     		dr = 1203.09963999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50026948-0.50046123) × cos(0.17436696) × R
    0.000191749999999935 × 0.984836559003521 × 6371000     		do = 1203.11499531323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50026948-0.50046123) × cos(0.17417812) × R
    0.000191749999999935 × 0.984869302300111 × 6371000     		du = 1203.15499580952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17436696)-sin(0.17417812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984836559003521-0.984869302300111)×R²
    abs(0.50046123-0.50026948)×3.27432965899765e-05×R²
    0.000191749999999935×3.27432965899765e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.27432965899765e-05×40589641000000     		ar = 1447491.28433292m²