Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18992 / 15409
↖ ↑ ↗
← N 10.649811°
E 28.652344°		 ← 1 200.53 m → N 10.649811°
E 28.663330°		 →
↑
1 200.61 m
↓
↑
1 200.61 m
↓
N 10.639014°
E 28.652344°		 ← 1 200.58 m →
1 441 405 m²		 N 10.639014°
E 28.663330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579605102539062 y=0.470260620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579605102539062 × 215)
    floor (0.579605102539062 × 32768)
    floor (18992.5)     		tx = 18992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470260620117188 × 215)
    floor (0.470260620117188 × 32768)
    floor (15409.5)     		ty = 15409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18992 / 15409 ti = "15/18992/15409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18992/15409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18992 ÷ 215
    18992 ÷ 32768     		x = 0.57958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15409 ÷ 215
    15409 ÷ 32768     		y = 0.470245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57958984375 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470245361328125 × 2 - 1) × π
    0.05950927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.186953908518219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50007774} λ = 0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.186953908518219))-π/2
    2×atan(1.20557171718249)-π/2
    2×0.878335297213852-π/2
    1.7566705944277-1.57079632675     		φ = 0.18587427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18587427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.649811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18992 KachelY 15409 0.50007774 0.18587427 28.652344 10.649811
    Oben rechts KachelX + 1 18993 KachelY 15409 0.50026948 0.18587427 28.663330 10.649811
    Unten links KachelX 18992 KachelY + 1 15410 0.50007774 0.18568582 28.652344 10.639014
    Unten rechts KachelX + 1 18993 KachelY + 1 15410 0.50026948 0.18568582 28.663330 10.639014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18587427-0.18568582) × R
    0.000188450000000007 × 6371000     		dl = 1200.61495000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18587427-0.18568582) × R
    0.000188450000000007 × 6371000     		dr = 1200.61495000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50007774-0.50026948) × cos(0.18587427) × R
    0.000191739999999996 × 0.98277505606218 × 6371000     		do = 1200.53396980766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50007774-0.50026948) × cos(0.18568582) × R
    0.000191739999999996 × 0.982809865266929 × 6371000     		du = 1200.57649188075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18587427)-sin(0.18568582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98277505606218-0.982809865266929)×R²
    abs(0.50026948-0.50007774)×3.48092047489645e-05×R²
    0.000191739999999996×3.48092047489645e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.48092047489645e-05×40589641000000     		ar = 1441404.56271799m²