Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18992 / 15248
↖ ↑ ↗
← N 12.382928°
E 28.652344°		 ← 1 193.16 m → N 12.382928°
E 28.663330°		 →
↑
1 193.22 m
↓
↑
1 193.22 m
↓
N 12.372197°
E 28.652344°		 ← 1 193.21 m →
1 423 734 m²		 N 12.372197°
E 28.663330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579605102539062 y=0.465347290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579605102539062 × 215)
    floor (0.579605102539062 × 32768)
    floor (18992.5)     		tx = 18992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465347290039062 × 215)
    floor (0.465347290039062 × 32768)
    floor (15248.5)     		ty = 15248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18992 / 15248 ti = "15/18992/15248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18992/15248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18992 ÷ 215
    18992 ÷ 32768     		x = 0.57958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15248 ÷ 215
    15248 ÷ 32768     		y = 0.46533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57958984375 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46533203125 × 2 - 1) × π
    0.0693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.217825271873535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50007774} λ = 0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217825271873535))-π/2
    2×atan(1.24336979696284)-π/2
    2×0.893459598666966-π/2
    1.78691919733393-1.57079632675     		φ = 0.21612287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21612287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.382928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18992 KachelY 15248 0.50007774 0.21612287 28.652344 12.382928
    Oben rechts KachelX + 1 18993 KachelY 15248 0.50026948 0.21612287 28.663330 12.382928
    Unten links KachelX 18992 KachelY + 1 15249 0.50007774 0.21593558 28.652344 12.372197
    Unten rechts KachelX + 1 18993 KachelY + 1 15249 0.50026948 0.21593558 28.663330 12.372197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21612287-0.21593558) × R
    0.000187290000000007 × 6371000     		dl = 1193.22459000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21612287-0.21593558) × R
    0.000187290000000007 × 6371000     		dr = 1193.22459000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50007774-0.50026948) × cos(0.21612287) × R
    0.000191739999999996 × 0.976736216926441 × 6371000     		do = 1193.15707162945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50007774-0.50026948) × cos(0.21593558) × R
    0.000191739999999996 × 0.97677636307047 × 6371000     		du = 1193.20611317702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21612287)-sin(0.21593558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976736216926441-0.97677636307047)×R²
    abs(0.50026948-0.50007774)×4.01461440290296e-05×R²
    0.000191739999999996×4.01461440290296e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.01461440290296e-05×40589641000000     		ar = 1423733.62055274m²