Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18990 / 14660
↖ ↑ ↗
← N 18.604601°
E 28.630371°		 ← 1 157.80 m → N 18.604601°
E 28.641357°		 →
↑
1 157.80 m
↓
↑
1 157.80 m
↓
N 18.594189°
E 28.630371°		 ← 1 157.87 m →
1 340 544 m²		 N 18.594189°
E 28.641357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579544067382812 y=0.447402954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579544067382812 × 215)
    floor (0.579544067382812 × 32768)
    floor (18990.5)     		tx = 18990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447402954101562 × 215)
    floor (0.447402954101562 × 32768)
    floor (14660.5)     		ty = 14660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18990 / 14660 ti = "15/18990/14660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18990/14660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18990 ÷ 215
    18990 ÷ 32768     		x = 0.57952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14660 ÷ 215
    14660 ÷ 32768     		y = 0.4473876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57952880859375 × 2 - 1) × π
    0.1590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49969424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4473876953125 × 2 - 1) × π
    0.105224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.330572859779907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49969424} λ = 0.49969424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330572859779907))-π/2
    2×atan(1.39176518643914)-π/2
    2×0.947753938517797-π/2
    1.89550787703559-1.57079632675     		φ = 0.32471155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49969424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.630371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32471155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.604601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18990 KachelY 14660 0.49969424 0.32471155 28.630371 18.604601
    Oben rechts KachelX + 1 18991 KachelY 14660 0.49988599 0.32471155 28.641357 18.604601
    Unten links KachelX 18990 KachelY + 1 14661 0.49969424 0.32452982 28.630371 18.594189
    Unten rechts KachelX + 1 18991 KachelY + 1 14661 0.49988599 0.32452982 28.641357 18.594189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32471155-0.32452982) × R
    0.000181729999999991 × 6371000     		dl = 1157.80182999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32471155-0.32452982) × R
    0.000181729999999991 × 6371000     		dr = 1157.80182999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49969424-0.49988599) × cos(0.32471155) × R
    0.000191749999999991 × 0.947742791608937 × 6371000     		do = 1157.79979313399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49969424-0.49988599) × cos(0.32452982) × R
    0.000191749999999991 × 0.947800754266011 × 6371000     		du = 1157.87060259091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32471155)-sin(0.32452982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947742791608937-0.947800754266011)×R²
    abs(0.49988599-0.49969424)×5.79626570741398e-05×R²
    0.000191749999999991×5.79626570741398e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.79626570741398e-05×40589641000000     		ar = 1340543.71461286m²