Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1899 / 821
↖ ↑ ↗
← N 72.685765°
W 13.095703°		 ← 2 908.56 m → N 72.685765°
W 13.007813°		 →
↑
2 910.72 m
↓
↑
2 910.72 m
↓
N 72.659588°
W 13.095703°		 ← 2 912.82 m →
8 472 200 m²		 N 72.659588°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4637451171875 y=0.2005615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4637451171875 × 212)
    floor (0.4637451171875 × 4096)
    floor (1899.5)     		tx = 1899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2005615234375 × 212)
    floor (0.2005615234375 × 4096)
    floor (821.5)     		ty = 821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1899 / 821 ti = "12/1899/821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1899/821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1899 ÷ 212
    1899 ÷ 4096     		x = 0.463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 821 ÷ 212
    821 ÷ 4096     		y = 0.200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.07275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22856314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200439453125 × 2 - 1) × π
    0.59912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88219442668188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22856314} λ = -0.22856314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88219442668188))-π/2
    2×atan(6.56790183889812)-π/2
    2×1.41970112217137-π/2
    2.83940224434273-1.57079632675     		φ = 1.26860592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22856314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26860592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.685765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1899 KachelY 821 -0.22856314 1.26860592 -13.095703 72.685765
    Oben rechts KachelX + 1 1900 KachelY 821 -0.22702916 1.26860592 -13.007813 72.685765
    Unten links KachelX 1899 KachelY + 1 822 -0.22856314 1.26814905 -13.095703 72.659588
    Unten rechts KachelX + 1 1900 KachelY + 1 822 -0.22702916 1.26814905 -13.007813 72.659588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26860592-1.26814905) × R
    0.000456869999999832 × 6371000     		dl = 2910.71876999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26860592-1.26814905) × R
    0.000456869999999832 × 6371000     		dr = 2910.71876999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22856314--0.22702916) × cos(1.26860592) × R
    0.00153397999999999 × 0.297612071589966 × 6371000     		do = 2908.55878169472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22856314--0.22702916) × cos(1.26814905) × R
    0.00153397999999999 × 0.298048208313173 × 6371000     		du = 2912.82114003767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26860592)-sin(1.26814905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297612071589966-0.298048208313173)×R²
    abs(-0.22702916--0.22856314)×0.000436136723207636×R²
    0.00153397999999999×0.000436136723207636×6371000²
    0.00153397999999999×0.000436136723207636×40589641000000     		ar = 8472200.05010502m²