Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1899 / 2667
↖ ↑ ↗
← S 47.694974°
W 13.095703°		 ← 6 577.98 m → S 47.694974°
W 13.007813°		 →
↑
6 574.23 m
↓
↑
6 574.23 m
↓
S 47.754098°
W 13.095703°		 ← 6 570.51 m →
43 220 637 m²		 S 47.754098°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4637451171875 y=0.6512451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4637451171875 × 212)
    floor (0.4637451171875 × 4096)
    floor (1899.5)     		tx = 1899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6512451171875 × 212)
    floor (0.6512451171875 × 4096)
    floor (2667.5)     		ty = 2667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1899 / 2667 ti = "12/1899/2667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1899/2667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1899 ÷ 212
    1899 ÷ 4096     		x = 0.463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2667 ÷ 212
    2667 ÷ 4096     		y = 0.651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.07275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22856314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.30224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.949534107674072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22856314} λ = -0.22856314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949534107674072))-π/2
    2×atan(0.386921245108133)-π/2
    2×0.369180993946721-π/2
    0.738361987893442-1.57079632675     		φ = -0.83243434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22856314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83243434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.694974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1899 KachelY 2667 -0.22856314 -0.83243434 -13.095703 -47.694974
    Oben rechts KachelX + 1 1900 KachelY 2667 -0.22702916 -0.83243434 -13.007813 -47.694974
    Unten links KachelX 1899 KachelY + 1 2668 -0.22856314 -0.83346624 -13.095703 -47.754098
    Unten rechts KachelX + 1 1900 KachelY + 1 2668 -0.22702916 -0.83346624 -13.007813 -47.754098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83243434--0.83346624) × R
    0.00103189999999997 × 6371000     		dl = 6574.23489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83243434--0.83346624) × R
    0.00103189999999997 × 6371000     		dr = 6574.23489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22856314--0.22702916) × cos(-0.83243434) × R
    0.00153397999999999 × 0.673077386331862 × 6371000     		do = 6577.97626392272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22856314--0.22702916) × cos(-0.83346624) × R
    0.00153397999999999 × 0.672313863706238 × 6371000     		du = 6570.51436754897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83243434)-sin(-0.83346624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673077386331862-0.672313863706238)×R²
    abs(-0.22702916--0.22856314)×0.000763522625623736×R²
    0.00153397999999999×0.000763522625623736×6371000²
    0.00153397999999999×0.000763522625623736×40589641000000     		ar = 43220636.8310449m²