Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1899 / 2610
↖ ↑ ↗
← S 44.213710°
W 13.095703°		 ← 7 004.73 m → S 44.213710°
W 13.007813°		 →
↑
7 001.03 m
↓
↑
7 001.03 m
↓
S 44.276672°
W 13.095703°		 ← 6 997.23 m →
49 014 068 m²		 S 44.276672°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4637451171875 y=0.6373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4637451171875 × 212)
    floor (0.4637451171875 × 4096)
    floor (1899.5)     		tx = 1899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6373291015625 × 212)
    floor (0.6373291015625 × 4096)
    floor (2610.5)     		ty = 2610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1899 / 2610 ti = "12/1899/2610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1899/2610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1899 ÷ 212
    1899 ÷ 4096     		x = 0.463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2610 ÷ 212
    2610 ÷ 4096     		y = 0.63720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.07275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22856314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63720703125 × 2 - 1) × π
    -0.2744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.86209720276709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22856314} λ = -0.22856314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86209720276709))-π/2
    2×atan(0.422275555565894)-π/2
    2×0.399560757183306-π/2
    0.799121514366612-1.57079632675     		φ = -0.77167481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22856314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77167481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.213710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1899 KachelY 2610 -0.22856314 -0.77167481 -13.095703 -44.213710
    Oben rechts KachelX + 1 1900 KachelY 2610 -0.22702916 -0.77167481 -13.007813 -44.213710
    Unten links KachelX 1899 KachelY + 1 2611 -0.22856314 -0.77277370 -13.095703 -44.276672
    Unten rechts KachelX + 1 1900 KachelY + 1 2611 -0.22702916 -0.77277370 -13.007813 -44.276672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77167481--0.77277370) × R
    0.00109888999999996 × 6371000     		dl = 7001.02818999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77167481--0.77277370) × R
    0.00109888999999996 × 6371000     		dr = 7001.02818999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22856314--0.22702916) × cos(-0.77167481) × R
    0.00153397999999999 × 0.716743769031627 × 6371000     		do = 7004.72723604467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22856314--0.22702916) × cos(-0.77277370) × R
    0.00153397999999999 × 0.715977040185993 × 6371000     		du = 6997.23400532579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77167481)-sin(-0.77277370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716743769031627-0.715977040185993)×R²
    abs(-0.22702916--0.22856314)×0.000766728845634113×R²
    0.00153397999999999×0.000766728845634113×6371000²
    0.00153397999999999×0.000766728845634113×40589641000000     		ar = 49014067.6153367m²