Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18988 / 13589
↖ ↑ ↗
← N 29.334298°
E 28.608399°		 ← 1 064.94 m → N 29.334298°
E 28.619385°		 →
↑
1 065.04 m
↓
↑
1 065.04 m
↓
N 29.324720°
E 28.608399°		 ← 1 065.04 m →
1 134 258 m²		 N 29.324720°
E 28.619385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579483032226562 y=0.414718627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579483032226562 × 215)
    floor (0.579483032226562 × 32768)
    floor (18988.5)     		tx = 18988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414718627929688 × 215)
    floor (0.414718627929688 × 32768)
    floor (13589.5)     		ty = 13589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18988 / 13589 ti = "15/18988/13589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18988/13589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18988 ÷ 215
    18988 ÷ 32768     		x = 0.5794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13589 ÷ 215
    13589 ÷ 32768     		y = 0.414703369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5794677734375 × 2 - 1) × π
    0.158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49931075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414703369140625 × 2 - 1) × π
    0.17059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.535934537752228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49931075} λ = 0.49931075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535934537752228))-π/2
    2×atan(1.70904466293808)-π/2
    2×1.04138820733125-π/2
    2.0827764146625-1.57079632675     		φ = 0.51198009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49931075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.608399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51198009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.334298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18988 KachelY 13589 0.49931075 0.51198009 28.608399 29.334298
    Oben rechts KachelX + 1 18989 KachelY 13589 0.49950249 0.51198009 28.619385 29.334298
    Unten links KachelX 18988 KachelY + 1 13590 0.49931075 0.51181292 28.608399 29.324720
    Unten rechts KachelX + 1 18989 KachelY + 1 13590 0.49950249 0.51181292 28.619385 29.324720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51198009-0.51181292) × R
    0.000167169999999994 × 6371000     		dl = 1065.04006999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51198009-0.51181292) × R
    0.000167169999999994 × 6371000     		dr = 1065.04006999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49931075-0.49950249) × cos(0.51198009) × R
    0.000191739999999996 × 0.871776162483876 × 6371000     		do = 1064.94043644535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49931075-0.49950249) × cos(0.51181292) × R
    0.000191739999999996 × 0.871858047621034 × 6371000     		du = 1065.04046532599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51198009)-sin(0.51181292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871776162483876-0.871858047621034)×R²
    abs(0.49950249-0.49931075)×8.18851371580109e-05×R²
    0.000191739999999996×8.18851371580109e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.18851371580109e-05×40589641000000     		ar = 1134257.50700197m²