Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18987 / 13593
↖ ↑ ↗
← N 29.295981°
E 28.597412°		 ← 1 065.40 m → N 29.295981°
E 28.608399°		 →
↑
1 065.42 m
↓
↑
1 065.42 m
↓
N 29.286399°
E 28.597412°		 ← 1 065.50 m →
1 135 150 m²		 N 29.286399°
E 28.608399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579452514648438 y=0.414840698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579452514648438 × 215)
    floor (0.579452514648438 × 32768)
    floor (18987.5)     		tx = 18987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414840698242188 × 215)
    floor (0.414840698242188 × 32768)
    floor (13593.5)     		ty = 13593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18987 / 13593 ti = "15/18987/13593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18987/13593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18987 ÷ 215
    18987 ÷ 32768     		x = 0.579437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13593 ÷ 215
    13593 ÷ 32768     		y = 0.414825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579437255859375 × 2 - 1) × π
    0.15887451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49911900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414825439453125 × 2 - 1) × π
    0.17034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.535167547358307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49911900} λ = 0.49911900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535167547358307))-π/2
    2×atan(1.70773434466383)-π/2
    2×1.0410538225657-π/2
    2.08210764513139-1.57079632675     		φ = 0.51131132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49911900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.597412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51131132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.295981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18987 KachelY 13593 0.49911900 0.51131132 28.597412 29.295981
    Oben rechts KachelX + 1 18988 KachelY 13593 0.49931075 0.51131132 28.608399 29.295981
    Unten links KachelX 18987 KachelY + 1 13594 0.49911900 0.51114409 28.597412 29.286399
    Unten rechts KachelX + 1 18988 KachelY + 1 13594 0.49931075 0.51114409 28.608399 29.286399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51131132-0.51114409) × R
    0.000167229999999963 × 6371000     		dl = 1065.42232999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51131132-0.51114409) × R
    0.000167229999999963 × 6371000     		dr = 1065.42232999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49911900-0.49931075) × cos(0.51131132) × R
    0.000191750000000046 × 0.872103600873606 × 6371000     		do = 1065.39598889379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49911900-0.49931075) × cos(0.51114409) × R
    0.000191750000000046 × 0.872185417875333 × 6371000     		du = 1065.49593975441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51131132)-sin(0.51114409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872103600873606-0.872185417875333)×R²
    abs(0.49931075-0.49911900)×8.18170017268249e-05×R²
    0.000191750000000046×8.18170017268249e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.18170017268249e-05×40589641000000     		ar = 1135149.92444467m²