Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18987 / 13590
↖ ↑ ↗
← N 29.324720°
E 28.597412°		 ← 1 065.10 m → N 29.324720°
E 28.608399°		 →
↑
1 065.17 m
↓
↑
1 065.17 m
↓
N 29.315141°
E 28.597412°		 ← 1 065.20 m →
1 134 559 m²		 N 29.315141°
E 28.608399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579452514648438 y=0.414749145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579452514648438 × 215)
    floor (0.579452514648438 × 32768)
    floor (18987.5)     		tx = 18987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414749145507812 × 215)
    floor (0.414749145507812 × 32768)
    floor (13590.5)     		ty = 13590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18987 / 13590 ti = "15/18987/13590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18987/13590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18987 ÷ 215
    18987 ÷ 32768     		x = 0.579437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13590 ÷ 215
    13590 ÷ 32768     		y = 0.41473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579437255859375 × 2 - 1) × π
    0.15887451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49911900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41473388671875 × 2 - 1) × π
    0.1705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535742790153748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49911900} λ = 0.49911900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535742790153748))-π/2
    2×atan(1.70871698914461)-π/2
    2×1.04130462291294-π/2
    2.08260924582588-1.57079632675     		φ = 0.51181292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49911900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.597412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51181292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.324720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18987 KachelY 13590 0.49911900 0.51181292 28.597412 29.324720
    Oben rechts KachelX + 1 18988 KachelY 13590 0.49931075 0.51181292 28.608399 29.324720
    Unten links KachelX 18987 KachelY + 1 13591 0.49911900 0.51164573 28.597412 29.315141
    Unten rechts KachelX + 1 18988 KachelY + 1 13591 0.49931075 0.51164573 28.608399 29.315141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51181292-0.51164573) × R
    0.000167189999999984 × 6371000     		dl = 1065.1674899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51181292-0.51164573) × R
    0.000167189999999984 × 6371000     		dr = 1065.1674899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49911900-0.49931075) × cos(0.51181292) × R
    0.000191750000000046 × 0.871858047621034 × 6371000     		do = 1065.09601140248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49911900-0.49931075) × cos(0.51164573) × R
    0.000191750000000046 × 0.871939918185671 × 6371000     		du = 1065.19602769766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51181292)-sin(0.51164573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871858047621034-0.871939918185671)×R²
    abs(0.49931075-0.49911900)×8.18705646374873e-05×R²
    0.000191750000000046×8.18705646374873e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.18705646374873e-05×40589641000000     		ar = 1134558.91477058m²