Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18986 / 13591
↖ ↑ ↗
← N 29.315141°
E 28.586426°		 ← 1 065.20 m → N 29.315141°
E 28.597412°		 →
↑
1 065.23 m
↓
↑
1 065.23 m
↓
N 29.305561°
E 28.586426°		 ← 1 065.30 m →
1 134 733 m²		 N 29.305561°
E 28.597412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579421997070312 y=0.414779663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579421997070312 × 215)
    floor (0.579421997070312 × 32768)
    floor (18986.5)     		tx = 18986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414779663085938 × 215)
    floor (0.414779663085938 × 32768)
    floor (13591.5)     		ty = 13591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18986 / 13591 ti = "15/18986/13591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18986/13591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18986 ÷ 215
    18986 ÷ 32768     		x = 0.57940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13591 ÷ 215
    13591 ÷ 32768     		y = 0.414764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57940673828125 × 2 - 1) × π
    0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414764404296875 × 2 - 1) × π
    0.17047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535551042555267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49892725} λ = 0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535551042555267))-π/2
    2×atan(1.70838937817577)-π/2
    2×1.04122103064484-π/2
    2.08244206128969-1.57079632675     		φ = 0.51164573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51164573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.315141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18986 KachelY 13591 0.49892725 0.51164573 28.586426 29.315141
    Oben rechts KachelX + 1 18987 KachelY 13591 0.49911900 0.51164573 28.597412 29.315141
    Unten links KachelX 18986 KachelY + 1 13592 0.49892725 0.51147853 28.586426 29.305561
    Unten rechts KachelX + 1 18987 KachelY + 1 13592 0.49911900 0.51147853 28.597412 29.305561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51164573-0.51147853) × R
    0.000167200000000034 × 6371000     		dl = 1065.23120000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51164573-0.51147853) × R
    0.000167200000000034 × 6371000     		dr = 1065.23120000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49892725-0.49911900) × cos(0.51164573) × R
    0.000191749999999991 × 0.871939918185671 × 6371000     		do = 1065.19602769735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49892725-0.49911900) × cos(0.51147853) × R
    0.000191749999999991 × 0.872021769272083 × 6371000     		du = 1065.29602019717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51164573)-sin(0.51147853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871939918185671-0.872021769272083)×R²
    abs(0.49911900-0.49892725)×8.18510864114552e-05×R²
    0.000191749999999991×8.18510864114552e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.18510864114552e-05×40589641000000     		ar = 1134733.30302831m²