Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18984 / 13611
↖ ↑ ↗
← N 29.123373°
E 28.564453°		 ← 1 067.14 m → N 29.123373°
E 28.575439°		 →
↑
1 067.21 m
↓
↑
1 067.21 m
↓
N 29.113775°
E 28.564453°		 ← 1 067.24 m →
1 138 908 m²		 N 29.113775°
E 28.575439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579360961914062 y=0.415390014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579360961914062 × 215)
    floor (0.579360961914062 × 32768)
    floor (18984.5)     		tx = 18984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415390014648438 × 215)
    floor (0.415390014648438 × 32768)
    floor (13611.5)     		ty = 13611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18984 / 13611 ti = "15/18984/13611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18984/13611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18984 ÷ 215
    18984 ÷ 32768     		x = 0.579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13611 ÷ 215
    13611 ÷ 32768     		y = 0.415374755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579345703125 × 2 - 1) × π
    0.15869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49854376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415374755859375 × 2 - 1) × π
    0.16925048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.531716090585663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49854376} λ = 0.49854376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531716090585663))-π/2
    2×atan(1.70185033344039)-π/2
    2×1.03954753929876-π/2
    2.07909507859753-1.57079632675     		φ = 0.50829875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49854376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.564453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50829875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.123373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18984 KachelY 13611 0.49854376 0.50829875 28.564453 29.123373
    Oben rechts KachelX + 1 18985 KachelY 13611 0.49873550 0.50829875 28.575439 29.123373
    Unten links KachelX 18984 KachelY + 1 13612 0.49854376 0.50813124 28.564453 29.113775
    Unten rechts KachelX + 1 18985 KachelY + 1 13612 0.49873550 0.50813124 28.575439 29.113775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50829875-0.50813124) × R
    0.000167510000000037 × 6371000     		dl = 1067.20621000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50829875-0.50813124) × R
    0.000167510000000037 × 6371000     		dr = 1067.20621000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49854376-0.49873550) × cos(0.50829875) × R
    0.000191739999999996 × 0.87357375581562 × 6371000     		do = 1067.13633249027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49854376-0.49873550) × cos(0.50813124) × R
    0.000191739999999996 × 0.873655269300004 × 6371000     		du = 1067.23590736897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50829875)-sin(0.50813124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87357375581562-0.873655269300004)×R²
    abs(0.49873550-0.49854376)×8.15134843838994e-05×R²
    0.000191739999999996×8.15134843838994e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.15134843838994e-05×40589641000000     		ar = 1138907.65707827m²