Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18980 / 15460
↖ ↑ ↗
← N 10.098670°
E 28.520508°		 ← 1 202.65 m → N 10.098670°
E 28.531494°		 →
↑
1 202.72 m
↓
↑
1 202.72 m
↓
N 10.087854°
E 28.520508°		 ← 1 202.69 m →
1 446 472 m²		 N 10.087854°
E 28.531494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579238891601562 y=0.471817016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579238891601562 × 215)
    floor (0.579238891601562 × 32768)
    floor (18980.5)     		tx = 18980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471817016601562 × 215)
    floor (0.471817016601562 × 32768)
    floor (15460.5)     		ty = 15460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18980 / 15460 ti = "15/18980/15460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18980/15460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18980 ÷ 215
    18980 ÷ 32768     		x = 0.5792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15460 ÷ 215
    15460 ÷ 32768     		y = 0.4718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5792236328125 × 2 - 1) × π
    0.158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49777677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4718017578125 × 2 - 1) × π
    0.056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.177174780995728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49777677} λ = 0.49777677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177174780995728))-π/2
    2×atan(1.19383973539095)-π/2
    2×0.873525685233607-π/2
    1.74705137046721-1.57079632675     		φ = 0.17625504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49777677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.520508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17625504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.098670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18980 KachelY 15460 0.49777677 0.17625504 28.520508 10.098670
    Oben rechts KachelX + 1 18981 KachelY 15460 0.49796851 0.17625504 28.531494 10.098670
    Unten links KachelX 18980 KachelY + 1 15461 0.49777677 0.17606626 28.520508 10.087854
    Unten rechts KachelX + 1 18981 KachelY + 1 15461 0.49796851 0.17606626 28.531494 10.087854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17625504-0.17606626) × R
    0.00018878 × 6371000     		dl = 1202.71738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17625504-0.17606626) × R
    0.00018878 × 6371000     		dr = 1202.71738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49777677-0.49796851) × cos(0.17625504) × R
    0.000191739999999996 × 0.984507250751501 × 6371000     		do = 1202.64997647065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49777677-0.49796851) × cos(0.17606626) × R
    0.000191739999999996 × 0.984540334624457 × 6371000     		du = 1202.69039092063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17625504)-sin(0.17606626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984507250751501-0.984540334624457)×R²
    abs(0.49796851-0.49777677)×3.30838729559746e-05×R²
    0.000191739999999996×3.30838729559746e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.30838729559746e-05×40589641000000     		ar = 1446472.33663439m²