Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1898 / 826
↖ ↑ ↗
← N 72.554499°
W 13.183594°		 ← 2 929.93 m → N 72.554499°
W 13.095703°		 →
↑
2 932.13 m
↓
↑
2 932.13 m
↓
N 72.528129°
W 13.183594°		 ← 2 934.22 m →
8 597 203 m²		 N 72.528129°
W 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4635009765625 y=0.2017822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4635009765625 × 212)
    floor (0.4635009765625 × 4096)
    floor (1898.5)     		tx = 1898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2017822265625 × 212)
    floor (0.2017822265625 × 4096)
    floor (826.5)     		ty = 826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1898 / 826 ti = "12/1898/826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1898/826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1898 ÷ 212
    1898 ÷ 4096     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 826 ÷ 212
    826 ÷ 4096     		y = 0.20166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20166015625 × 2 - 1) × π
    0.5966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87452452274268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87452452274268))-π/2
    2×atan(6.51771935613136)-π/2
    2×1.41855560633935-π/2
    2.8371112126787-1.57079632675     		φ = 1.26631489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26631489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.554499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1898 KachelY 826 -0.23009712 1.26631489 -13.183594 72.554499
    Oben rechts KachelX + 1 1899 KachelY 826 -0.22856314 1.26631489 -13.095703 72.554499
    Unten links KachelX 1898 KachelY + 1 827 -0.23009712 1.26585466 -13.183594 72.528129
    Unten rechts KachelX + 1 1899 KachelY + 1 827 -0.22856314 1.26585466 -13.095703 72.528129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26631489-1.26585466) × R
    0.000460230000000061 × 6371000     		dl = 2932.12533000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26631489-1.26585466) × R
    0.000460230000000061 × 6371000     		dr = 2932.12533000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.22856314) × cos(1.26631489) × R
    0.00153397999999999 × 0.299798504922941 × 6371000     		do = 2929.92676531595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.22856314) × cos(1.26585466) × R
    0.00153397999999999 × 0.300237533748458 × 6371000     		du = 2934.21738813596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26631489)-sin(1.26585466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299798504922941-0.300237533748458)×R²
    abs(-0.22856314--0.23009712)×0.000439028825517607×R²
    0.00153397999999999×0.000439028825517607×6371000²
    0.00153397999999999×0.000439028825517607×40589641000000     		ar = 8597202.95730503m²