Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18977 / 10782
↖ ↑ ↗
← N 81.711318°
W127.878113°		 ← 44.03 m → N 81.711318°
W127.875366°		 →
↑
44.02 m
↓
↑
44.02 m
↓
N 81.710922°
W127.878113°		 ← 44.03 m →
1 938 m²		 N 81.710922°
W127.875366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144786834716797 y=0.0822639465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144786834716797 × 217)
    floor (0.144786834716797 × 131072)
    floor (18977.5)     		tx = 18977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0822639465332031 × 217)
    floor (0.0822639465332031 × 131072)
    floor (10782.5)     		ty = 10782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18977 / 10782 ti = "17/18977/10782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18977/10782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18977 ÷ 217
    18977 ÷ 131072     		x = 0.144783020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10782 ÷ 217
    10782 ÷ 131072     		y = 0.0822601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144783020019531 × 2 - 1) × π
    -0.710433959960938 × 3.1415926535     		Λ = -2.23189411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0822601318359375 × 2 - 1) × π
    0.835479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62473700179655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23189411} λ = -2.23189411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62473700179655))-π/2
    2×atan(13.8009440852328)-π/2
    2×1.49846392741483-π/2
    2.99692785482965-1.57079632675     		φ = 1.42613153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23189411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.878113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42613153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.711318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18977 KachelY 10782 -2.23189411 1.42613153 -127.878113 81.711318
    Oben rechts KachelX + 1 18978 KachelY 10782 -2.23184617 1.42613153 -127.875366 81.711318
    Unten links KachelX 18977 KachelY + 1 10783 -2.23189411 1.42612462 -127.878113 81.710922
    Unten rechts KachelX + 1 18978 KachelY + 1 10783 -2.23184617 1.42612462 -127.875366 81.710922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42613153-1.42612462) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dl = 44.0236099998159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42613153-1.42612462) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dr = 44.0236099998159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23189411--2.23184617) × cos(1.42613153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14416073604795 × 6371000     		do = 44.030399486361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23189411--2.23184617) × cos(1.42612462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144167573864615 × 6371000     		du = 44.0324879315759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42613153)-sin(1.42612462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14416073604795-0.144167573864615)×R²
    abs(-2.23184617--2.23189411)×6.83781666482863e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.83781666482863e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.83781666482863e-06×40589641000000     		ar = 1938.42310550265m²