Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18976 / 10786
↖ ↑ ↗
← N 81.709733°
W127.880860°		 ← 44.04 m → N 81.709733°
W127.878113°		 →
↑
44.02 m
↓
↑
44.02 m
↓
N 81.709338°
W127.880860°		 ← 44.04 m →
1 939 m²		 N 81.709338°
W127.878113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144779205322266 y=0.0822944641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144779205322266 × 217)
    floor (0.144779205322266 × 131072)
    floor (18976.5)     		tx = 18976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0822944641113281 × 217)
    floor (0.0822944641113281 × 131072)
    floor (10786.5)     		ty = 10786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18976 / 10786 ti = "17/18976/10786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18976/10786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18976 ÷ 217
    18976 ÷ 131072     		x = 0.144775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10786 ÷ 217
    10786 ÷ 131072     		y = 0.0822906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144775390625 × 2 - 1) × π
    -0.71044921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23194205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0822906494140625 × 2 - 1) × π
    0.835418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62454525419807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23194205} λ = -2.23194205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62454525419807))-π/2
    2×atan(13.7982980410421)-π/2
    2×1.49845010486584-π/2
    2.99690020973168-1.57079632675     		φ = 1.42610388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23194205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.880860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42610388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.709733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18976 KachelY 10786 -2.23194205 1.42610388 -127.880860 81.709733
    Oben rechts KachelX + 1 18977 KachelY 10786 -2.23189411 1.42610388 -127.878113 81.709733
    Unten links KachelX 18976 KachelY + 1 10787 -2.23194205 1.42609697 -127.880860 81.709338
    Unten rechts KachelX + 1 18977 KachelY + 1 10787 -2.23189411 1.42609697 -127.878113 81.709338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42610388-1.42609697) × R
    6.91000000019315e-06 × 6371000     		dl = 44.0236100012306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42610388-1.42609697) × R
    6.91000000019315e-06 × 6371000     		dr = 44.0236100012306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23194205--2.23189411) × cos(1.42610388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144188097168809 × 6371000     		do = 44.0387562769465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23194205--2.23189411) × cos(1.42609697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144194934957927 × 6371000     		du = 44.0408447137479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42610388)-sin(1.42609697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144188097168809-0.144194934957927)×R²
    abs(-2.23189411--2.23194205)×6.83778911822475e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.83778911822475e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.83778911822475e-06×40589641000000     		ar = 1938.7910015413m²