Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18975 / 10784
↖ ↑ ↗
← N 81.710526°
W127.883606°		 ← 44.03 m → N 81.710526°
W127.880860°		 →
↑
44.09 m
↓
↑
44.09 m
↓
N 81.710129°
W127.883606°		 ← 44.03 m →
1 941 m²		 N 81.710129°
W127.880860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144771575927734 y=0.0822792053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144771575927734 × 217)
    floor (0.144771575927734 × 131072)
    floor (18975.5)     		tx = 18975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0822792053222656 × 217)
    floor (0.0822792053222656 × 131072)
    floor (10784.5)     		ty = 10784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18975 / 10784 ti = "17/18975/10784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18975/10784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18975 ÷ 217
    18975 ÷ 131072     		x = 0.144767761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10784 ÷ 217
    10784 ÷ 131072     		y = 0.082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144767761230469 × 2 - 1) × π
    -0.710464477539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.23198998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082275390625 × 2 - 1) × π
    0.83544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62464112799731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23198998} λ = -2.23198998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62464112799731))-π/2
    2×atan(13.7996209997158)-π/2
    2×1.49845701646818-π/2
    2.99691403293635-1.57079632675     		φ = 1.42611771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23198998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.883606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42611771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.710526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18975 KachelY 10784 -2.23198998 1.42611771 -127.883606 81.710526
    Oben rechts KachelX + 1 18976 KachelY 10784 -2.23194205 1.42611771 -127.880860 81.710526
    Unten links KachelX 18975 KachelY + 1 10785 -2.23198998 1.42611079 -127.883606 81.710129
    Unten rechts KachelX + 1 18976 KachelY + 1 10785 -2.23194205 1.42611079 -127.880860 81.710129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42611771-1.42611079) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dl = 44.0873199994287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42611771-1.42611079) × R
    6.91999999991033e-06 × 6371000     		dr = 44.0873199994287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23198998--2.23194205) × cos(1.42611771) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144174411674396 × 6371000     		do = 44.0253910229763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23198998--2.23194205) × cos(1.42611079) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144181259372806 × 6371000     		du = 44.0274820500636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42611771)-sin(1.42611079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144174411674396-0.144181259372806)×R²
    abs(-2.23194205--2.23198998)×6.84769840997301e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.84769840997301e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.84769840997301e-06×40589641000000     		ar = 1941.00759618906m²