Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18974 / 10785
↖ ↑ ↗
← N 81.710129°
W127.886353°		 ← 44.04 m → N 81.710129°
W127.883606°		 →
↑
44.02 m
↓
↑
44.02 m
↓
N 81.709733°
W127.886353°		 ← 44.04 m →
1 939 m²		 N 81.709733°
W127.883606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144763946533203 y=0.0822868347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144763946533203 × 217)
    floor (0.144763946533203 × 131072)
    floor (18974.5)     		tx = 18974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0822868347167969 × 217)
    floor (0.0822868347167969 × 131072)
    floor (10785.5)     		ty = 10785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18974 / 10785 ti = "17/18974/10785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18974/10785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18974 ÷ 217
    18974 ÷ 131072     		x = 0.144760131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10785 ÷ 217
    10785 ÷ 131072     		y = 0.0822830200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144760131835938 × 2 - 1) × π
    -0.710479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23203792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0822830200195312 × 2 - 1) × π
    0.835433959960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.62459319109769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23203792} λ = -2.23203792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62459319109769))-π/2
    2×atan(13.7989595045243)-π/2
    2×1.49845356074897-π/2
    2.99690712149794-1.57079632675     		φ = 1.42611079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23203792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.886353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42611079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.710129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18974 KachelY 10785 -2.23203792 1.42611079 -127.886353 81.710129
    Oben rechts KachelX + 1 18975 KachelY 10785 -2.23198998 1.42611079 -127.883606 81.710129
    Unten links KachelX 18974 KachelY + 1 10786 -2.23203792 1.42610388 -127.886353 81.709733
    Unten rechts KachelX + 1 18975 KachelY + 1 10786 -2.23198998 1.42610388 -127.883606 81.709733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42611079-1.42610388) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dl = 44.0236099998159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42611079-1.42610388) × R
    6.90999999997111e-06 × 6371000     		dr = 44.0236099998159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23203792--2.23198998) × cos(1.42611079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144181259372806 × 6371000     		do = 44.0366678380424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23203792--2.23198998) × cos(1.42610388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144188097168809 × 6371000     		du = 44.0387562769465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42611079)-sin(1.42610388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144181259372806-0.144188097168809)×R²
    abs(-2.23198998--2.23203792)×6.83779600271772e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.83779600271772e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.83779600271772e-06×40589641000000     		ar = 1938.69906085499m²