Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18972 / 10727
↖ ↑ ↗
← N 81.733067°
W127.891845°		 ← 43.91 m → N 81.733067°
W127.889099°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
N 81.732671°
W127.891845°		 ← 43.91 m →
1 930 m²		 N 81.732671°
W127.889099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144748687744141 y=0.0818443298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144748687744141 × 217)
    floor (0.144748687744141 × 131072)
    floor (18972.5)     		tx = 18972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0818443298339844 × 217)
    floor (0.0818443298339844 × 131072)
    floor (10727.5)     		ty = 10727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18972 / 10727 ti = "17/18972/10727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18972/10727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18972 ÷ 217
    18972 ÷ 131072     		x = 0.144744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10727 ÷ 217
    10727 ÷ 131072     		y = 0.0818405151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.71051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23213379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0818405151367188 × 2 - 1) × π
    0.836318969726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.62737353127566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23213379} λ = -2.23213379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62737353127566))-π/2
    2×atan(13.8373786905027)-π/2
    2×1.49865372173467-π/2
    2.99730744346935-1.57079632675     		φ = 1.42651112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23213379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.891845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42651112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.733067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18972 KachelY 10727 -2.23213379 1.42651112 -127.891845 81.733067
    Oben rechts KachelX + 1 18973 KachelY 10727 -2.23208586 1.42651112 -127.889099 81.733067
    Unten links KachelX 18972 KachelY + 1 10728 -2.23213379 1.42650422 -127.891845 81.732671
    Unten rechts KachelX + 1 18973 KachelY + 1 10728 -2.23208586 1.42650422 -127.889099 81.732671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42651112-1.42650422) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42651112-1.42650422) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23213379--2.23208586) × cos(1.42651112) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.14378510076012 × 6371000     		do = 43.9065102514849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23213379--2.23208586) × cos(1.42650422) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.143791929058351 × 6371000     		du = 43.9085953544941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42651112)-sin(1.42650422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14378510076012-0.143791929058351)×R²
    abs(-2.23208586--2.23213379)×6.8282982306489e-06×R²
    4.79299999995852e-05×6.8282982306489e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×6.8282982306489e-06×40589641000000     		ar = 1930.17163048954m²