Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1897 / 1749
↖ ↑ ↗
← N 25.403585°
W 13.271484°		 ← 8 828.02 m → N 25.403585°
W 13.183594°		 →
↑
8 830.91 m
↓
↑
8 830.91 m
↓
N 25.324167°
W 13.271484°		 ← 8 833.82 m →
77 985 069 m²		 N 25.324167°
W 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4632568359375 y=0.4271240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4632568359375 × 212)
    floor (0.4632568359375 × 4096)
    floor (1897.5)     		tx = 1897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4271240234375 × 212)
    floor (0.4271240234375 × 4096)
    floor (1749.5)     		ty = 1749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1897 / 1749 ti = "12/1897/1749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1897/1749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1897 ÷ 212
    1897 ÷ 4096     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1749 ÷ 212
    1749 ÷ 4096     		y = 0.427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427001953125 × 2 - 1) × π
    0.14599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.458660255564697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458660255564697))-π/2
    2×atan(1.58195315169251)-π/2
    2×1.00708626318766-π/2
    2.01417252637532-1.57079632675     		φ = 0.44337620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44337620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.403585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1897 KachelY 1749 -0.23163110 0.44337620 -13.271484 25.403585
    Oben rechts KachelX + 1 1898 KachelY 1749 -0.23009712 0.44337620 -13.183594 25.403585
    Unten links KachelX 1897 KachelY + 1 1750 -0.23163110 0.44199009 -13.271484 25.324167
    Unten rechts KachelX + 1 1898 KachelY + 1 1750 -0.23009712 0.44199009 -13.183594 25.324167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44337620-0.44199009) × R
    0.00138611 × 6371000     		dl = 8830.90680999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44337620-0.44199009) × R
    0.00138611 × 6371000     		dr = 8830.90680999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23009712) × cos(0.44337620) × R
    0.00153398000000002 × 0.903308452626554 × 6371000     		do = 8828.02138511998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23009712) × cos(0.44199009) × R
    0.00153398000000002 × 0.903902214294465 × 6371000     		du = 8833.82420993219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44337620)-sin(0.44199009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903308452626554-0.903902214294465)×R²
    abs(-0.23009712--0.23163110)×0.000593761667910586×R²
    0.00153398000000002×0.000593761667910586×6371000²
    0.00153398000000002×0.000593761667910586×40589641000000     		ar = 77985068.7573245m²