Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1897 / 1019
↖ ↑ ↗
← N 66.687784°
W 13.271484°		 ← 3 867.57 m → N 66.687784°
W 13.183594°		 →
↑
3 870.32 m
↓
↑
3 870.32 m
↓
N 66.652977°
W 13.271484°		 ← 3 873.03 m →
14 979 297 m²		 N 66.652977°
W 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4632568359375 y=0.2489013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4632568359375 × 212)
    floor (0.4632568359375 × 4096)
    floor (1897.5)     		tx = 1897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2489013671875 × 212)
    floor (0.2489013671875 × 4096)
    floor (1019.5)     		ty = 1019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1897 / 1019 ti = "12/1897/1019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1897/1019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1897 ÷ 212
    1897 ÷ 4096     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1019 ÷ 212
    1019 ÷ 4096     		y = 0.248779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248779296875 × 2 - 1) × π
    0.50244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.57846623068921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57846623068921))-π/2
    2×atan(4.84751513660676)-π/2
    2×1.36735886300633-π/2
    2.73471772601266-1.57079632675     		φ = 1.16392140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16392140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.687784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1897 KachelY 1019 -0.23163110 1.16392140 -13.271484 66.687784
    Oben rechts KachelX + 1 1898 KachelY 1019 -0.23009712 1.16392140 -13.183594 66.687784
    Unten links KachelX 1897 KachelY + 1 1020 -0.23163110 1.16331391 -13.271484 66.652977
    Unten rechts KachelX + 1 1898 KachelY + 1 1020 -0.23009712 1.16331391 -13.183594 66.652977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16392140-1.16331391) × R
    0.000607489999999933 × 6371000     		dl = 3870.31878999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16392140-1.16331391) × R
    0.000607489999999933 × 6371000     		dr = 3870.31878999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23009712) × cos(1.16392140) × R
    0.00153398000000002 × 0.395741316516025 × 6371000     		do = 3867.57457546269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23009712) × cos(1.16331391) × R
    0.00153398000000002 × 0.396299139205757 × 6371000     		du = 3873.02616912346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16392140)-sin(1.16331391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395741316516025-0.396299139205757)×R²
    abs(-0.23009712--0.23163110)×0.000557822689732035×R²
    0.00153398000000002×0.000557822689732035×6371000²
    0.00153398000000002×0.000557822689732035×40589641000000     		ar = 14979296.7144967m²