Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1897 / 1016
↖ ↑ ↗
← N 66.791909°
W 13.271484°		 ← 3 851.26 m → N 66.791909°
W 13.183594°		 →
↑
3 853.95 m
↓
↑
3 853.95 m
↓
N 66.757250°
W 13.271484°		 ← 3 856.69 m →
14 853 005 m²		 N 66.757250°
W 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4632568359375 y=0.2481689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4632568359375 × 212)
    floor (0.4632568359375 × 4096)
    floor (1897.5)     		tx = 1897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2481689453125 × 212)
    floor (0.2481689453125 × 4096)
    floor (1016.5)     		ty = 1016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1897 / 1016 ti = "12/1897/1016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1897/1016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1897 ÷ 212
    1897 ÷ 4096     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1016 ÷ 212
    1016 ÷ 4096     		y = 0.248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248046875 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58306817305273))-π/2
    2×atan(4.86987453073291)-π/2
    2×1.3682675303911-π/2
    2.7365350607822-1.57079632675     		φ = 1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1897 KachelY 1016 -0.23163110 1.16573873 -13.271484 66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 1898 KachelY 1016 -0.23009712 1.16573873 -13.183594 66.791909
    Unten links KachelX 1897 KachelY + 1 1017 -0.23163110 1.16513381 -13.271484 66.757250
    Unten rechts KachelX + 1 1898 KachelY + 1 1017 -0.23009712 1.16513381 -13.183594 66.757250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16573873-1.16513381) × R
    0.000604920000000009 × 6371000     		dl = 3853.94532000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16573873-1.16513381) × R
    0.000604920000000009 × 6371000     		dr = 3853.94532000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23009712) × cos(1.16573873) × R
    0.00153398000000002 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 3851.25740701763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23009712) × cos(1.16513381) × R
    0.00153398000000002 × 0.394627594627558 × 6371000     		du = 3856.69018639285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16573873)-sin(1.16513381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.394627594627558)×R²
    abs(-0.23009712--0.23163110)×0.000555897558105201×R²
    0.00153398000000002×0.000555897558105201×6371000²
    0.00153398000000002×0.000555897558105201×40589641000000     		ar = 14853004.7301426m²