Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18962 / 14606
↖ ↑ ↗
← N 19.165924°
E 28.322754°		 ← 1 153.93 m → N 19.165924°
E 28.333740°		 →
↑
1 153.92 m
↓
↑
1 153.92 m
↓
N 19.155547°
E 28.322754°		 ← 1 154 m →
1 331 575 m²		 N 19.155547°
E 28.333740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578689575195312 y=0.445755004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578689575195312 × 215)
    floor (0.578689575195312 × 32768)
    floor (18962.5)     		tx = 18962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445755004882812 × 215)
    floor (0.445755004882812 × 32768)
    floor (14606.5)     		ty = 14606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18962 / 14606 ti = "15/18962/14606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18962/14606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18962 ÷ 215
    18962 ÷ 32768     		x = 0.57867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14606 ÷ 215
    14606 ÷ 32768     		y = 0.44573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57867431640625 × 2 - 1) × π
    0.1573486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49432531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44573974609375 × 2 - 1) × π
    0.1085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.340927230097839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49432531} λ = 0.49432531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340927230097839))-π/2
    2×atan(1.40625090439798)-π/2
    2×0.952652404599669-π/2
    1.90530480919934-1.57079632675     		φ = 0.33450848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49432531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.322754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33450848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.165924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18962 KachelY 14606 0.49432531 0.33450848 28.322754 19.165924
    Oben rechts KachelX + 1 18963 KachelY 14606 0.49451706 0.33450848 28.333740 19.165924
    Unten links KachelX 18962 KachelY + 1 14607 0.49432531 0.33432736 28.322754 19.155547
    Unten rechts KachelX + 1 18963 KachelY + 1 14607 0.49451706 0.33432736 28.333740 19.155547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33450848-0.33432736) × R
    0.000181119999999979 × 6371000     		dl = 1153.91551999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33450848-0.33432736) × R
    0.000181119999999979 × 6371000     		dr = 1153.91551999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49432531-0.49451706) × cos(0.33450848) × R
    0.000191749999999991 × 0.94457179216757 × 6371000     		do = 1153.92597575469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49432531-0.49451706) × cos(0.33432736) × R
    0.000191749999999991 × 0.944631239263741 × 6371000     		du = 1153.99859866067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33450848)-sin(0.33432736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94457179216757-0.944631239263741)×R²
    abs(0.49451706-0.49432531)×5.9447096171561e-05×R²
    0.000191749999999991×5.9447096171561e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.9447096171561e-05×40589641000000     		ar = 1331574.99634388m²