Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18960 / 15823
↖ ↑ ↗
← N 79.457024°
W127.924805°		 ← 55.88 m → N 79.457024°
W127.922058°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
N 79.456521°
W127.924805°		 ← 55.89 m →
3 126 m²		 N 79.456521°
W127.922058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144657135009766 y=0.120723724365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144657135009766 × 217)
    floor (0.144657135009766 × 131072)
    floor (18960.5)     		tx = 18960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120723724365234 × 217)
    floor (0.120723724365234 × 131072)
    floor (15823.5)     		ty = 15823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18960 / 15823 ti = "17/18960/15823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18960/15823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18960 ÷ 217
    18960 ÷ 131072     		x = 0.1446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15823 ÷ 217
    15823 ÷ 131072     		y = 0.120719909667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23270904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120719909667969 × 2 - 1) × π
    0.758560180664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.38308709081185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23270904} λ = -2.23270904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38308709081185))-π/2
    2×atan(10.8383101193698)-π/2
    2×1.47879150626345-π/2
    2.95758301252689-1.57079632675     		φ = 1.38678669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23270904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.924805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38678669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.457024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18960 KachelY 15823 -2.23270904 1.38678669 -127.924805 79.457024
    Oben rechts KachelX + 1 18961 KachelY 15823 -2.23266110 1.38678669 -127.922058 79.457024
    Unten links KachelX 18960 KachelY + 1 15824 -2.23270904 1.38677791 -127.924805 79.456521
    Unten rechts KachelX + 1 18961 KachelY + 1 15824 -2.23266110 1.38677791 -127.922058 79.456521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38678669-1.38677791) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dl = 55.9373800009719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38678669-1.38677791) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dr = 55.9373800009719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23270904--2.23266110) × cos(1.38678669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182972979582441 × 6371000     		do = 55.8846576889353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23270904--2.23266110) × cos(1.38677791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182981611350923 × 6371000     		du = 55.8872940532114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38678669)-sin(1.38677791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182972979582441-0.182981611350923)×R²
    abs(-2.23266110--2.23270904)×8.63176848209246e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63176848209246e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63176848209246e-06×40589641000000     		ar = 3126.11506892817m²