Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18960 / 15441
↖ ↑ ↗
← N 10.304110°
E 28.300781°		 ← 1 201.94 m → N 10.304110°
E 28.311768°		 →
↑
1 201.95 m
↓
↑
1 201.95 m
↓
N 10.293301°
E 28.300781°		 ← 1 201.98 m →
1 444 696 m²		 N 10.293301°
E 28.311768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578628540039062 y=0.471237182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578628540039062 × 215)
    floor (0.578628540039062 × 32768)
    floor (18960.5)     		tx = 18960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471237182617188 × 215)
    floor (0.471237182617188 × 32768)
    floor (15441.5)     		ty = 15441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18960 / 15441 ti = "15/18960/15441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18960/15441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18960 ÷ 215
    18960 ÷ 32768     		x = 0.57861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15441 ÷ 215
    15441 ÷ 32768     		y = 0.471221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57861328125 × 2 - 1) × π
    0.1572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49394181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471221923828125 × 2 - 1) × π
    0.05755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.180817985366852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49394181} λ = 0.49394181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.180817985366852))-π/2
    2×atan(1.19819707004412)-π/2
    2×0.875318489253957-π/2
    1.75063697850791-1.57079632675     		φ = 0.17984065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49394181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.300781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17984065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.304110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18960 KachelY 15441 0.49394181 0.17984065 28.300781 10.304110
    Oben rechts KachelX + 1 18961 KachelY 15441 0.49413356 0.17984065 28.311768 10.304110
    Unten links KachelX 18960 KachelY + 1 15442 0.49394181 0.17965199 28.300781 10.293301
    Unten rechts KachelX + 1 18961 KachelY + 1 15442 0.49413356 0.17965199 28.311768 10.293301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17984065-0.17965199) × R
    0.000188659999999979 × 6371000     		dl = 1201.95285999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17984065-0.17965199) × R
    0.000188659999999979 × 6371000     		dr = 1201.95285999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49394181-0.49413356) × cos(0.17984065) × R
    0.000191750000000046 × 0.983872208659439 × 6371000     		do = 1201.93690708285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49394181-0.49413356) × cos(0.17965199) × R
    0.000191750000000046 × 0.983905937291585 × 6371000     		du = 1201.97811130373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17984065)-sin(0.17965199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983872208659439-0.983905937291585)×R²
    abs(0.49413356-0.49394181)×3.37286321463459e-05×R²
    0.000191750000000046×3.37286321463459e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.37286321463459e-05×40589641000000     		ar = 1444696.27005819m²