Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1896 / 1880
↖ ↑ ↗
← S 81.723188°
E153.281250°		 ← 2 813.76 m → S 81.723188°
E153.457032°		 →
↑
2 809.48 m
↓
↑
2 809.48 m
↓
S 81.748454°
E153.281250°		 ← 2 805.23 m →
7 893 241 m²		 S 81.748454°
E153.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.926025390625 y=0.918212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.926025390625 × 211)
    floor (0.926025390625 × 2048)
    floor (1896.5)     		tx = 1896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918212890625 × 211)
    floor (0.918212890625 × 2048)
    floor (1880.5)     		ty = 1880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1896 / 1880 ti = "11/1896/1880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1896/1880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1896 ÷ 211
    1896 ÷ 2048     		x = 0.92578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1880 ÷ 211
    1880 ÷ 2048     		y = 0.91796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92578125 × 2 - 1) × π
    0.8515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.67526249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91796875 × 2 - 1) × π
    -0.8359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62617510878516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67526249} λ = 2.67526249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62617510878516))-π/2
    2×atan(0.0723546824351102)-π/2
    2×0.0722288138214239-π/2
    0.144457627642848-1.57079632675     		φ = -1.42633870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67526249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42633870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.723188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1896 KachelY 1880 2.67526249 -1.42633870 153.281250 -81.723188
    Oben rechts KachelX + 1 1897 KachelY 1880 2.67833046 -1.42633870 153.457032 -81.723188
    Unten links KachelX 1896 KachelY + 1 1881 2.67526249 -1.42677968 153.281250 -81.748454
    Unten rechts KachelX + 1 1897 KachelY + 1 1881 2.67833046 -1.42677968 153.457032 -81.748454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42633870--1.42677968) × R
    0.000440980000000035 × 6371000     		dl = 2809.48358000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42633870--1.42677968) × R
    0.000440980000000035 × 6371000     		dr = 2809.48358000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67526249-2.67833046) × cos(-1.42633870) × R
    0.00306797000000003 × 0.143955726994628 × 6371000     		do = 2813.76394748468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67526249-2.67833046) × cos(-1.42677968) × R
    0.00306797000000003 × 0.143519326202442 × 6371000     		du = 2805.23404151052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42633870)-sin(-1.42677968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143955726994628-0.143519326202442)×R²
    abs(2.67833046-2.67526249)×0.000436400792186015×R²
    0.00306797000000003×0.000436400792186015×6371000²
    0.00306797000000003×0.000436400792186015×40589641000000     		ar = 7893241.42097247m²