Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1896 / 1756
↖ ↑ ↗
← N 24.846565°
W 13.359375°		 ← 8 868.36 m → N 24.846565°
W 13.271484°		 →
↑
8 871.17 m
↓
↑
8 871.17 m
↓
N 24.766785°
W 13.359375°		 ← 8 874.07 m →
78 698 103 m²		 N 24.766785°
W 13.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4630126953125 y=0.4288330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4630126953125 × 212)
    floor (0.4630126953125 × 4096)
    floor (1896.5)     		tx = 1896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4288330078125 × 212)
    floor (0.4288330078125 × 4096)
    floor (1756.5)     		ty = 1756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1896 / 1756 ti = "12/1896/1756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1896/1756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1896 ÷ 212
    1896 ÷ 4096     		x = 0.462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1756 ÷ 212
    1756 ÷ 4096     		y = 0.4287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462890625 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.447922390049805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23316508} λ = -0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447922390049805))-π/2
    2×atan(1.56505722692656)-π/2
    2×1.00222534996082-π/2
    2.00445069992164-1.57079632675     		φ = 0.43365437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43365437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.846565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1896 KachelY 1756 -0.23316508 0.43365437 -13.359375 24.846565
    Oben rechts KachelX + 1 1897 KachelY 1756 -0.23163110 0.43365437 -13.271484 24.846565
    Unten links KachelX 1896 KachelY + 1 1757 -0.23316508 0.43226194 -13.359375 24.766785
    Unten rechts KachelX + 1 1897 KachelY + 1 1757 -0.23163110 0.43226194 -13.271484 24.766785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43365437-0.43226194) × R
    0.00139243 × 6371000     		dl = 8871.17153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43365437-0.43226194) × R
    0.00139243 × 6371000     		dr = 8871.17153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23316508--0.23163110) × cos(0.43365437) × R
    0.00153397999999999 × 0.907436283562814 × 6371000     		do = 8868.3626214644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23316508--0.23163110) × cos(0.43226194) × R
    0.00153397999999999 × 0.908020488433387 × 6371000     		du = 8874.07204782449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43365437)-sin(0.43226194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907436283562814-0.908020488433387)×R²
    abs(-0.23163110--0.23316508)×0.000584204870573313×R²
    0.00153397999999999×0.000584204870573313×6371000²
    0.00153397999999999×0.000584204870573313×40589641000000     		ar = 78698103.3709334m²