Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1896 / 1512
↖ ↑ ↗
← N 74.307354°
W 96.679688°		 ← 1 321.68 m → N 74.307354°
W 96.635742°		 →
↑
1 322.17 m
↓
↑
1 322.17 m
↓
N 74.295463°
W 96.679688°		 ← 1 322.66 m →
1 748 140 m²		 N 74.295463°
W 96.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23150634765625 y=0.18463134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23150634765625 × 213)
    floor (0.23150634765625 × 8192)
    floor (1896.5)     		tx = 1896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18463134765625 × 213)
    floor (0.18463134765625 × 8192)
    floor (1512.5)     		ty = 1512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1896 / 1512 ti = "13/1896/1512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1896/1512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1896 ÷ 213
    1896 ÷ 8192     		x = 0.2314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1512 ÷ 213
    1512 ÷ 8192     		y = 0.1845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2314453125 × 2 - 1) × π
    -0.537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.68737887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1845703125 × 2 - 1) × π
    0.630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.9819031778916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68737887} λ = -1.68737887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9819031778916))-π/2
    2×atan(7.25654033872946)-π/2
    2×1.43385215115599-π/2
    2.86770430231198-1.57079632675     		φ = 1.29690798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68737887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29690798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.307354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1896 KachelY 1512 -1.68737887 1.29690798 -96.679688 74.307354
    Oben rechts KachelX + 1 1897 KachelY 1512 -1.68661188 1.29690798 -96.635742 74.307354
    Unten links KachelX 1896 KachelY + 1 1513 -1.68737887 1.29670045 -96.679688 74.295463
    Unten rechts KachelX + 1 1897 KachelY + 1 1513 -1.68661188 1.29670045 -96.635742 74.295463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29690798-1.29670045) × R
    0.000207530000000178 × 6371000     		dl = 1322.17363000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29690798-1.29670045) × R
    0.000207530000000178 × 6371000     		dr = 1322.17363000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68737887--1.68661188) × cos(1.29690798) × R
    0.000766990000000023 × 0.270476886335704 × 6371000     		do = 1321.68349017955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68737887--1.68661188) × cos(1.29670045) × R
    0.000766990000000023 × 0.270676675133821 × 6371000     		du = 1322.65975680096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29690798)-sin(1.29670045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.270476886335704-0.270676675133821)×R²
    abs(-1.68661188--1.68737887)×0.000199788798116829×R²
    0.000766990000000023×0.000199788798116829×6371000²
    0.000766990000000023×0.000199788798116829×40589641000000     		ar = 1748140.46118776m²