Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1896 / 1063
↖ ↑ ↗
← N 65.109148°
W 13.359375°		 ← 4 113.36 m → N 65.109148°
W 13.271484°		 →
↑
4 116.24 m
↓
↑
4 116.24 m
↓
N 65.072130°
W 13.359375°		 ← 4 119.09 m →
16 943 370 m²		 N 65.072130°
W 13.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4630126953125 y=0.2596435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4630126953125 × 212)
    floor (0.4630126953125 × 4096)
    floor (1896.5)     		tx = 1896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2596435546875 × 212)
    floor (0.2596435546875 × 4096)
    floor (1063.5)     		ty = 1063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1896 / 1063 ti = "12/1896/1063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1896/1063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1896 ÷ 212
    1896 ÷ 4096     		x = 0.462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1063 ÷ 212
    1063 ÷ 4096     		y = 0.259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462890625 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259521484375 × 2 - 1) × π
    0.48095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51097107602417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23316508} λ = -0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51097107602417))-π/2
    2×atan(4.53112872907538)-π/2
    2×1.35358266805156-π/2
    2.70716533610311-1.57079632675     		φ = 1.13636901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13636901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.109148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1896 KachelY 1063 -0.23316508 1.13636901 -13.359375 65.109148
    Oben rechts KachelX + 1 1897 KachelY 1063 -0.23163110 1.13636901 -13.271484 65.109148
    Unten links KachelX 1896 KachelY + 1 1064 -0.23316508 1.13572292 -13.359375 65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 1897 KachelY + 1 1064 -0.23163110 1.13572292 -13.271484 65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13636901-1.13572292) × R
    0.000646089999999822 × 6371000     		dl = 4116.23938999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13636901-1.13572292) × R
    0.000646089999999822 × 6371000     		dr = 4116.23938999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23316508--0.23163110) × cos(1.13636901) × R
    0.00153397999999999 × 0.420890983048449 × 6371000     		do = 4113.36192897547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23316508--0.23163110) × cos(1.13572292) × R
    0.00153397999999999 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 4119.08877798432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13636901)-sin(1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420890983048449-0.421476970654384)×R²
    abs(-0.23163110--0.23316508)×0.000585987605935201×R²
    0.00153397999999999×0.000585987605935201×6371000²
    0.00153397999999999×0.000585987605935201×40589641000000     		ar = 16943369.5274992m²