Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18959 / 15822
↖ ↑ ↗
← N 79.457527°
W127.927551°		 ← 55.87 m → N 79.457527°
W127.924805°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.457024°
W127.927551°		 ← 55.87 m →
3 122 m²		 N 79.457024°
W127.924805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144649505615234 y=0.120716094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144649505615234 × 217)
    floor (0.144649505615234 × 131072)
    floor (18959.5)     		tx = 18959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120716094970703 × 217)
    floor (0.120716094970703 × 131072)
    floor (15822.5)     		ty = 15822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18959 / 15822 ti = "17/18959/15822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18959/15822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18959 ÷ 217
    18959 ÷ 131072     		x = 0.144645690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15822 ÷ 217
    15822 ÷ 131072     		y = 0.120712280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144645690917969 × 2 - 1) × π
    -0.710708618164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.23275697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120712280273438 × 2 - 1) × π
    0.758575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38313502771147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23275697} λ = -2.23275697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38313502771147))-π/2
    2×atan(10.8388296868072)-π/2
    2×1.47879589173888-π/2
    2.95759178347777-1.57079632675     		φ = 1.38679546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23275697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.927551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38679546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.457527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18959 KachelY 15822 -2.23275697 1.38679546 -127.927551 79.457527
    Oben rechts KachelX + 1 18960 KachelY 15822 -2.23270904 1.38679546 -127.924805 79.457527
    Unten links KachelX 18959 KachelY + 1 15823 -2.23275697 1.38678669 -127.927551 79.457024
    Unten rechts KachelX + 1 18960 KachelY + 1 15823 -2.23270904 1.38678669 -127.924805 79.457024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38679546-1.38678669) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38679546-1.38678669) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23275697--2.23270904) × cos(1.38679546) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182964357631049 × 6371000     		do = 55.8703676638974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23275697--2.23270904) × cos(1.38678669) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182972979582441 × 6371000     		du = 55.8730004804769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38679546)-sin(1.38678669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182964357631049-0.182972979582441)×R²
    abs(-2.23270904--2.23275697)×8.62195139153532e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.62195139153532e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.62195139153532e-06×40589641000000     		ar = 3121.75603822128m²