Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18959 / 15439
↖ ↑ ↗
← N 10.325728°
E 28.289795°		 ← 1 201.79 m → N 10.325728°
E 28.300781°		 →
↑
1 201.89 m
↓
↑
1 201.89 m
↓
N 10.314919°
E 28.289795°		 ← 1 201.83 m →
1 444 445 m²		 N 10.314919°
E 28.300781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578598022460938 y=0.471176147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578598022460938 × 215)
    floor (0.578598022460938 × 32768)
    floor (18959.5)     		tx = 18959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471176147460938 × 215)
    floor (0.471176147460938 × 32768)
    floor (15439.5)     		ty = 15439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18959 / 15439 ti = "15/18959/15439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18959/15439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18959 ÷ 215
    18959 ÷ 32768     		x = 0.578582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15439 ÷ 215
    15439 ÷ 32768     		y = 0.471160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578582763671875 × 2 - 1) × π
    0.15716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49375007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471160888671875 × 2 - 1) × π
    0.05767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.181201480563812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49375007} λ = 0.49375007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.181201480563812))-π/2
    2×atan(1.19865666098532)-π/2
    2×0.875507137912218-π/2
    1.75101427582444-1.57079632675     		φ = 0.18021795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49375007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.289795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18021795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.325728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18959 KachelY 15439 0.49375007 0.18021795 28.289795 10.325728
    Oben rechts KachelX + 1 18960 KachelY 15439 0.49394181 0.18021795 28.300781 10.325728
    Unten links KachelX 18959 KachelY + 1 15440 0.49375007 0.18002930 28.289795 10.314919
    Unten rechts KachelX + 1 18960 KachelY + 1 15440 0.49394181 0.18002930 28.300781 10.314919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18021795-0.18002930) × R
    0.000188649999999985 × 6371000     		dl = 1201.8891499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18021795-0.18002930) × R
    0.000188649999999985 × 6371000     		dr = 1201.8891499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49375007-0.49394181) × cos(0.18021795) × R
    0.000191739999999996 × 0.983804649925531 × 6371000     		do = 1201.79169648727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49375007-0.49394181) × cos(0.18002930) × R
    0.000191739999999996 × 0.983838446799311 × 6371000     		du = 1201.8329819216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18021795)-sin(0.18002930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983804649925531-0.983838446799311)×R²
    abs(0.49394181-0.49375007)×3.37968737796901e-05×R²
    0.000191739999999996×3.37968737796901e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.37968737796901e-05×40589641000000     		ar = 1444445.21510961m²