Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18951 / 15927
↖ ↑ ↗
← N 79.404631°
W127.949524°		 ← 56.16 m → N 79.404631°
W127.946777°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
N 79.404126°
W127.949524°		 ← 56.16 m →
3 156 m²		 N 79.404126°
W127.946777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144588470458984 y=0.121517181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144588470458984 × 217)
    floor (0.144588470458984 × 131072)
    floor (18951.5)     		tx = 18951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121517181396484 × 217)
    floor (0.121517181396484 × 131072)
    floor (15927.5)     		ty = 15927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18951 / 15927 ti = "17/18951/15927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18951/15927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18951 ÷ 217
    18951 ÷ 131072     		x = 0.144584655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15927 ÷ 217
    15927 ÷ 131072     		y = 0.121513366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144584655761719 × 2 - 1) × π
    -0.710830688476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.23314047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121513366699219 × 2 - 1) × π
    0.756973266601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.37810165325137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23314047} λ = -2.23314047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37810165325137))-π/2
    2×atan(10.7844108683208)-π/2
    2×1.47833428656999-π/2
    2.95666857313998-1.57079632675     		φ = 1.38587225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23314047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.949524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38587225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.404631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18951 KachelY 15927 -2.23314047 1.38587225 -127.949524 79.404631
    Oben rechts KachelX + 1 18952 KachelY 15927 -2.23309253 1.38587225 -127.946777 79.404631
    Unten links KachelX 18951 KachelY + 1 15928 -2.23314047 1.38586343 -127.949524 79.404126
    Unten rechts KachelX + 1 18952 KachelY + 1 15928 -2.23309253 1.38586343 -127.946777 79.404126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38587225-1.38586343) × R
    8.8200000001315e-06 × 6371000     		dl = 56.1922200008378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38587225-1.38586343) × R
    8.8200000001315e-06 × 6371000     		dr = 56.1922200008378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23314047--2.23309253) × cos(1.38587225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183871905327388 × 6371000     		do = 56.1592127497906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23314047--2.23309253) × cos(1.38586343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18388057494112 × 6371000     		du = 56.1618606729803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38587225)-sin(1.38586343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183871905327388-0.18388057494112)×R²
    abs(-2.23309253--2.23314047)×8.66961373213737e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66961373213737e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66961373213737e-06×40589641000000     		ar = 3155.78523442933m²