Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18951 / 10753
↖ ↑ ↗
← N 81.722792°
W127.949524°		 ← 43.97 m → N 81.722792°
W127.946777°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
N 81.722397°
W127.949524°		 ← 43.97 m →
1 933 m²		 N 81.722397°
W127.946777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144588470458984 y=0.0820426940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144588470458984 × 217)
    floor (0.144588470458984 × 131072)
    floor (18951.5)     		tx = 18951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0820426940917969 × 217)
    floor (0.0820426940917969 × 131072)
    floor (10753.5)     		ty = 10753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18951 / 10753 ti = "17/18951/10753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18951/10753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18951 ÷ 217
    18951 ÷ 131072     		x = 0.144584655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10753 ÷ 217
    10753 ÷ 131072     		y = 0.0820388793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144584655761719 × 2 - 1) × π
    -0.710830688476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.23314047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0820388793945312 × 2 - 1) × π
    0.835922241210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.62612717188554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23314047} λ = -2.23314047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62612717188554))-π/2
    2×atan(13.8201430867466)-π/2
    2×1.49856406249599-π/2
    2.99712812499199-1.57079632675     		φ = 1.42633180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23314047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.949524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42633180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.722792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18951 KachelY 10753 -2.23314047 1.42633180 -127.949524 81.722792
    Oben rechts KachelX + 1 18952 KachelY 10753 -2.23309253 1.42633180 -127.946777 81.722792
    Unten links KachelX 18951 KachelY + 1 10754 -2.23314047 1.42632490 -127.949524 81.722397
    Unten rechts KachelX + 1 18952 KachelY + 1 10754 -2.23309253 1.42632490 -127.946777 81.722397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42633180-1.42632490) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42633180-1.42632490) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23314047--2.23309253) × cos(1.42633180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143962555121692 × 6371000     		do = 43.9698699303048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23314047--2.23309253) × cos(1.42632490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143969383241902 × 6371000     		du = 43.9719554139728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42633180)-sin(1.42632490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143962555121692-0.143969383241902)×R²
    abs(-2.23309253--2.23314047)×6.82812021018941e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82812021018941e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82812021018941e-06×40589641000000     		ar = 1932.95692392752m²