Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18948 / 9732
↖ ↑ ↗
← N 77.461259°
W 75.915528°		 ← 132.62 m → N 77.461259°
W 75.910034°		 →
↑
132.58 m
↓
↑
132.58 m
↓
N 77.460067°
W 75.915528°		 ← 132.63 m →
17 583 m²		 N 77.460067°
W 75.910034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.289131164550781 y=0.148506164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.289131164550781 × 216)
    floor (0.289131164550781 × 65536)
    floor (18948.5)     		tx = 18948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148506164550781 × 216)
    floor (0.148506164550781 × 65536)
    floor (9732.5)     		ty = 9732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18948 / 9732 ti = "16/18948/9732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18948/9732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18948 ÷ 216
    18948 ÷ 65536     		x = 0.28912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9732 ÷ 216
    9732 ÷ 65536     		y = 0.14849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28912353515625 × 2 - 1) × π
    -0.4217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.32497591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14849853515625 × 2 - 1) × π
    0.7030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20854883929523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.32497591} λ = -1.32497591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20854883929523))-π/2
    2×atan(9.10249761721864)-π/2
    2×1.46137517051926-π/2
    2.92275034103851-1.57079632675     		φ = 1.35195401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.32497591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -75.915528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35195401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.461259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18948 KachelY 9732 -1.32497591 1.35195401 -75.915528 77.461259
    Oben rechts KachelX + 1 18949 KachelY 9732 -1.32488003 1.35195401 -75.910034 77.461259
    Unten links KachelX 18948 KachelY + 1 9733 -1.32497591 1.35193320 -75.915528 77.460067
    Unten rechts KachelX + 1 18949 KachelY + 1 9733 -1.32488003 1.35193320 -75.910034 77.460067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35195401-1.35193320) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dl = 132.580510000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35195401-1.35193320) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dr = 132.580510000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.32497591--1.32488003) × cos(1.35195401) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.217099697007265 × 6371000     		do = 132.615671224353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.32497591--1.32488003) × cos(1.35193320) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.217120010630021 × 6371000     		du = 132.628079830877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35195401)-sin(1.35193320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217099697007265-0.217120010630021)×R²
    abs(-1.32488003--1.32497591)×2.03136227552581e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.03136227552581e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.03136227552581e-05×40589641000000     		ar = 17583.0758949581m²