Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18948 / 10731
↖ ↑ ↗
← N 81.731486°
W127.957764°		 ← 43.92 m → N 81.731486°
W127.955017°		 →
↑
43.90 m
↓
↑
43.90 m
↓
N 81.731092°
W127.957764°		 ← 43.93 m →
1 928 m²		 N 81.731092°
W127.955017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144565582275391 y=0.0818748474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144565582275391 × 217)
    floor (0.144565582275391 × 131072)
    floor (18948.5)     		tx = 18948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0818748474121094 × 217)
    floor (0.0818748474121094 × 131072)
    floor (10731.5)     		ty = 10731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18948 / 10731 ti = "17/18948/10731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18948/10731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18948 ÷ 217
    18948 ÷ 131072     		x = 0.144561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10731 ÷ 217
    10731 ÷ 131072     		y = 0.0818710327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.71087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23328428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0818710327148438 × 2 - 1) × π
    0.836257934570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.62718178367718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23328428} λ = -2.23328428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62718178367718))-π/2
    2×atan(13.8347256607337)-π/2
    2×1.49863993520248-π/2
    2.99727987040497-1.57079632675     		φ = 1.42648354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23328428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.957764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42648354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.731486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18948 KachelY 10731 -2.23328428 1.42648354 -127.957764 81.731486
    Oben rechts KachelX + 1 18949 KachelY 10731 -2.23323634 1.42648354 -127.955017 81.731486
    Unten links KachelX 18948 KachelY + 1 10732 -2.23328428 1.42647665 -127.957764 81.731092
    Unten rechts KachelX + 1 18949 KachelY + 1 10732 -2.23323634 1.42647665 -127.955017 81.731092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42648354-1.42647665) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dl = 43.8961900005903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42648354-1.42647665) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dr = 43.8961900005903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23328428--2.23323634) × cos(1.42648354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143812394119866 × 6371000     		do = 43.9240068952031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23328428--2.23323634) × cos(1.42647665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143819212494692 × 6371000     		du = 43.9260894023796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42648354)-sin(1.42647665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143812394119866-0.143819212494692)×R²
    abs(-2.23323634--2.23328428)×6.81837482510717e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.81837482510717e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.81837482510717e-06×40589641000000     		ar = 1928.14225930185m²