Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18942 / 10750
↖ ↑ ↗
← N 81.723978°
W127.974243°		 ← 43.96 m → N 81.723978°
W127.971496°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
N 81.723583°
W127.974243°		 ← 43.97 m →
1 933 m²		 N 81.723583°
W127.971496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144519805908203 y=0.0820198059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144519805908203 × 217)
    floor (0.144519805908203 × 131072)
    floor (18942.5)     		tx = 18942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0820198059082031 × 217)
    floor (0.0820198059082031 × 131072)
    floor (10750.5)     		ty = 10750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18942 / 10750 ti = "17/18942/10750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18942/10750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18942 ÷ 217
    18942 ÷ 131072     		x = 0.144515991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10750 ÷ 217
    10750 ÷ 131072     		y = 0.0820159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144515991210938 × 2 - 1) × π
    -0.710968017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23357190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0820159912109375 × 2 - 1) × π
    0.835968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.6262709825844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23357190} λ = -2.23357190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6262709825844))-π/2
    2×atan(13.8221307140999)-π/2
    2×1.4985744134374-π/2
    2.9971488268748-1.57079632675     		φ = 1.42635250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23357190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.974243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42635250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.723978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18942 KachelY 10750 -2.23357190 1.42635250 -127.974243 81.723978
    Oben rechts KachelX + 1 18943 KachelY 10750 -2.23352396 1.42635250 -127.971496 81.723978
    Unten links KachelX 18942 KachelY + 1 10751 -2.23357190 1.42634560 -127.974243 81.723583
    Unten rechts KachelX + 1 18943 KachelY + 1 10751 -2.23352396 1.42634560 -127.971496 81.723583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42635250-1.42634560) × R
    6.89999999980984e-06 × 6371000     		dl = 43.9598999987885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42635250-1.42634560) × R
    6.89999999980984e-06 × 6371000     		dr = 43.9598999987885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23357190--2.23352396) × cos(1.42635250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143942070719939 × 6371000     		do = 43.9636134667408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23357190--2.23352396) × cos(1.42634560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14394889886071 × 6371000     		du = 43.9656989566887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42635250)-sin(1.42634560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143942070719939-0.14394889886071)×R²
    abs(-2.23352396--2.23357190)×6.82814077115901e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82814077115901e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82814077115901e-06×40589641000000     		ar = 1932.68189061119m²