Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18941 / 10748
↖ ↑ ↗
← N 81.724769°
W127.976990°		 ← 43.96 m → N 81.724769°
W127.974243°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
N 81.724374°
W127.976990°		 ← 43.96 m →
1 932 m²		 N 81.724374°
W127.974243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144512176513672 y=0.0820045471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144512176513672 × 217)
    floor (0.144512176513672 × 131072)
    floor (18941.5)     		tx = 18941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0820045471191406 × 217)
    floor (0.0820045471191406 × 131072)
    floor (10748.5)     		ty = 10748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18941 / 10748 ti = "17/18941/10748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18941/10748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18941 ÷ 217
    18941 ÷ 131072     		x = 0.144508361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10748 ÷ 217
    10748 ÷ 131072     		y = 0.082000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144508361816406 × 2 - 1) × π
    -0.710983276367188 × 3.1415926535     		Λ = -2.23361984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082000732421875 × 2 - 1) × π
    0.83599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62636685638364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23361984} λ = -2.23361984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62636685638364))-π/2
    2×atan(13.8234559578121)-π/2
    2×1.49858131324668-π/2
    2.99716262649335-1.57079632675     		φ = 1.42636630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23361984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.976990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42636630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.724769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18941 KachelY 10748 -2.23361984 1.42636630 -127.976990 81.724769
    Oben rechts KachelX + 1 18942 KachelY 10748 -2.23357190 1.42636630 -127.974243 81.724769
    Unten links KachelX 18941 KachelY + 1 10749 -2.23361984 1.42635940 -127.976990 81.724374
    Unten rechts KachelX + 1 18942 KachelY + 1 10749 -2.23357190 1.42635940 -127.974243 81.724374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42636630-1.42635940) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42636630-1.42635940) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23361984--2.23357190) × cos(1.42636630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143928414417837 × 6371000     		do = 43.9594424805657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23361984--2.23357190) × cos(1.42635940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143935242572314 × 6371000     		du = 43.9615279746998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42636630)-sin(1.42635940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143928414417837-0.143935242572314)×R²
    abs(-2.23357190--2.23361984)×6.82815447722307e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82815447722307e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82815447722307e-06×40589641000000     		ar = 1932.4985346349m²