Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18940 / 10728
↖ ↑ ↗
← N 81.732671°
W127.979736°		 ← 43.91 m → N 81.732671°
W127.976990°		 →
↑
43.90 m
↓
↑
43.90 m
↓
N 81.732276°
W127.979736°		 ← 43.91 m →
1 927 m²		 N 81.732276°
W127.976990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144504547119141 y=0.0818519592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144504547119141 × 217)
    floor (0.144504547119141 × 131072)
    floor (18940.5)     		tx = 18940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0818519592285156 × 217)
    floor (0.0818519592285156 × 131072)
    floor (10728.5)     		ty = 10728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18940 / 10728 ti = "17/18940/10728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18940/10728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18940 ÷ 217
    18940 ÷ 131072     		x = 0.144500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10728 ÷ 217
    10728 ÷ 131072     		y = 0.08184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.71099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23366777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08184814453125 × 2 - 1) × π
    0.8363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62732559437604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23366777} λ = -2.23366777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62732559437604))-π/2
    2×atan(13.836715385368)-π/2
    2×1.49865027534688-π/2
    2.99730055069376-1.57079632675     		φ = 1.42650422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23366777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.979736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42650422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.732671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18940 KachelY 10728 -2.23366777 1.42650422 -127.979736 81.732671
    Oben rechts KachelX + 1 18941 KachelY 10728 -2.23361984 1.42650422 -127.976990 81.732671
    Unten links KachelX 18940 KachelY + 1 10729 -2.23366777 1.42649733 -127.979736 81.732276
    Unten rechts KachelX + 1 18941 KachelY + 1 10729 -2.23361984 1.42649733 -127.976990 81.732276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42650422-1.42649733) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dl = 43.8961900005903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42650422-1.42649733) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dr = 43.8961900005903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23366777--2.23361984) × cos(1.42650422) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143791929058351 × 6371000     		do = 43.9085953549009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23366777--2.23361984) × cos(1.42649733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143798747453666 × 6371000     		du = 43.9106774339357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42650422)-sin(1.42649733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143791929058351-0.143798747453666)×R²
    abs(-2.23361984--2.23366777)×6.81839531527229e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.81839531527229e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.81839531527229e-06×40589641000000     		ar = 1927.46574220981m²