Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1894 / 843
↖ ↑ ↗
← N 72.100944°
W 13.535156°		 ← 3 003.64 m → N 72.100944°
W 13.447266°		 →
↑
3 005.84 m
↓
↑
3 005.84 m
↓
N 72.073911°
W 13.535156°		 ← 3 008.03 m →
9 035 046 m²		 N 72.073911°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4625244140625 y=0.2059326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4625244140625 × 212)
    floor (0.4625244140625 × 4096)
    floor (1894.5)     		tx = 1894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2059326171875 × 212)
    floor (0.2059326171875 × 4096)
    floor (843.5)     		ty = 843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1894 / 843 ti = "12/1894/843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1894/843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1894 ÷ 212
    1894 ÷ 4096     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 843 ÷ 212
    843 ÷ 4096     		y = 0.205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205810546875 × 2 - 1) × π
    0.58837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84844684934937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84844684934937))-π/2
    2×atan(6.34994943162561)-π/2
    2×1.41459759319756-π/2
    2.82919518639513-1.57079632675     		φ = 1.25839886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25839886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.100944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1894 KachelY 843 -0.23623304 1.25839886 -13.535156 72.100944
    Oben rechts KachelX + 1 1895 KachelY 843 -0.23469906 1.25839886 -13.447266 72.100944
    Unten links KachelX 1894 KachelY + 1 844 -0.23623304 1.25792706 -13.535156 72.073911
    Unten rechts KachelX + 1 1895 KachelY + 1 844 -0.23469906 1.25792706 -13.447266 72.073911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25839886-1.25792706) × R
    0.000471799999999911 × 6371000     		dl = 3005.83779999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25839886-1.25792706) × R
    0.000471799999999911 × 6371000     		dr = 3005.83779999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23469906) × cos(1.25839886) × R
    0.00153398000000002 × 0.307340945652905 × 6371000     		do = 3003.63893735039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23469906) × cos(1.25792706) × R
    0.00153398000000002 × 0.307789876057852 × 6371000     		du = 3008.02632817329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25839886)-sin(1.25792706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307340945652905-0.307789876057852)×R²
    abs(-0.23469906--0.23623304)×0.000448930404946979×R²
    0.00153398000000002×0.000448930404946979×6371000²
    0.00153398000000002×0.000448930404946979×40589641000000     		ar = 9035045.51562571m²