Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1894 / 841
↖ ↑ ↗
← N 72.154889°
W 13.535156°		 ← 2 994.88 m → N 72.154889°
W 13.447266°		 →
↑
2 997.05 m
↓
↑
2 997.05 m
↓
N 72.127936°
W 13.535156°		 ← 2 999.26 m →
8 982 354 m²		 N 72.127936°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4625244140625 y=0.2054443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4625244140625 × 212)
    floor (0.4625244140625 × 4096)
    floor (1894.5)     		tx = 1894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2054443359375 × 212)
    floor (0.2054443359375 × 4096)
    floor (841.5)     		ty = 841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1894 / 841 ti = "12/1894/841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1894/841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1894 ÷ 212
    1894 ÷ 4096     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 841 ÷ 212
    841 ÷ 4096     		y = 0.205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205322265625 × 2 - 1) × π
    0.58935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85151481092505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85151481092505))-π/2
    2×atan(6.36946074716855)-π/2
    2×1.41506836070407-π/2
    2.83013672140814-1.57079632675     		φ = 1.25934039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25934039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.154889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1894 KachelY 841 -0.23623304 1.25934039 -13.535156 72.154889
    Oben rechts KachelX + 1 1895 KachelY 841 -0.23469906 1.25934039 -13.447266 72.154889
    Unten links KachelX 1894 KachelY + 1 842 -0.23623304 1.25886997 -13.535156 72.127936
    Unten rechts KachelX + 1 1895 KachelY + 1 842 -0.23469906 1.25886997 -13.447266 72.127936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25934039-1.25886997) × R
    0.000470420000000082 × 6371000     		dl = 2997.04582000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25934039-1.25886997) × R
    0.000470420000000082 × 6371000     		dr = 2997.04582000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23469906) × cos(1.25934039) × R
    0.00153398000000002 × 0.30644485011474 × 6371000     		do = 2994.8814076815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23469906) × cos(1.25886997) × R
    0.00153398000000002 × 0.306892603538866 × 6371000     		du = 2999.25729588663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25934039)-sin(1.25886997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30644485011474-0.306892603538866)×R²
    abs(-0.23469906--0.23623304)×0.000447753424125563×R²
    0.00153398000000002×0.000447753424125563×6371000²
    0.00153398000000002×0.000447753424125563×40589641000000     		ar = 8982354.3386611m²