Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1894 / 434
↖ ↑ ↗
← N 71.413177°
E152.929687°		 ← 6 230.11 m → N 71.413177°
E153.105469°		 →
↑
6 239.18 m
↓
↑
6 239.18 m
↓
N 71.357067°
E152.929687°		 ← 6 248.25 m →
38 927 392 m²		 N 71.357067°
E153.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925048828125 y=0.212158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925048828125 × 211)
    floor (0.925048828125 × 2048)
    floor (1894.5)     		tx = 1894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212158203125 × 211)
    floor (0.212158203125 × 2048)
    floor (434.5)     		ty = 434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1894 / 434 ti = "11/1894/434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1894/434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1894 ÷ 211
    1894 ÷ 2048     		x = 0.9248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 434 ÷ 211
    434 ÷ 2048     		y = 0.2119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9248046875 × 2 - 1) × π
    0.849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.66912657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2119140625 × 2 - 1) × π
    0.576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81009732965332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.66912657} λ = 2.66912657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81009732965332))-π/2
    2×atan(6.11104218890408)-π/2
    2×1.40859569592002-π/2
    2.81719139184005-1.57079632675     		φ = 1.24639507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.66912657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.929687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24639507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.413177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1894 KachelY 434 2.66912657 1.24639507 152.929687 71.413177
    Oben rechts KachelX + 1 1895 KachelY 434 2.67219453 1.24639507 153.105469 71.413177
    Unten links KachelX 1894 KachelY + 1 435 2.66912657 1.24541576 152.929687 71.357067
    Unten rechts KachelX + 1 1895 KachelY + 1 435 2.67219453 1.24541576 153.105469 71.357067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24639507-1.24541576) × R
    0.000979309999999955 × 6371000     		dl = 6239.18400999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24639507-1.24541576) × R
    0.000979309999999955 × 6371000     		dr = 6239.18400999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.66912657-2.67219453) × cos(1.24639507) × R
    0.00306796000000009 × 0.318741329222602 × 6371000     		do = 6230.10946596788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.66912657-2.67219453) × cos(1.24541576) × R
    0.00306796000000009 × 0.31966940712501 × 6371000     		du = 6248.24965173874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24639507)-sin(1.24541576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318741329222602-0.31966940712501)×R²
    abs(2.67219453-2.66912657)×0.000928077902408175×R²
    0.00306796000000009×0.000928077902408175×6371000²
    0.00306796000000009×0.000928077902408175×40589641000000     		ar = 38927392.4502215m²