Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1894 / 1291
↖ ↑ ↗
← N 55.229023°
W 13.535156°		 ← 5 573.51 m → N 55.229023°
W 13.447266°		 →
↑
5 577.05 m
↓
↑
5 577.05 m
↓
N 55.178868°
W 13.535156°		 ← 5 580.54 m →
31 103 315 m²		 N 55.178868°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4625244140625 y=0.3153076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4625244140625 × 212)
    floor (0.4625244140625 × 4096)
    floor (1894.5)     		tx = 1894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3153076171875 × 212)
    floor (0.3153076171875 × 4096)
    floor (1291.5)     		ty = 1291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1894 / 1291 ti = "12/1894/1291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1894/1291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1894 ÷ 212
    1894 ÷ 4096     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1291 ÷ 212
    1291 ÷ 4096     		y = 0.315185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315185546875 × 2 - 1) × π
    0.36962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16122345639624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16122345639624))-π/2
    2×atan(3.19383840877908)-π/2
    2×1.26736231089379-π/2
    2.53472462178757-1.57079632675     		φ = 0.96392830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96392830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.229023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1894 KachelY 1291 -0.23623304 0.96392830 -13.535156 55.229023
    Oben rechts KachelX + 1 1895 KachelY 1291 -0.23469906 0.96392830 -13.447266 55.229023
    Unten links KachelX 1894 KachelY + 1 1292 -0.23623304 0.96305292 -13.535156 55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 1895 KachelY + 1 1292 -0.23469906 0.96305292 -13.447266 55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96392830-0.96305292) × R
    0.000875379999999981 × 6371000     		dl = 5577.04597999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96392830-0.96305292) × R
    0.000875379999999981 × 6371000     		dr = 5577.04597999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23469906) × cos(0.96392830) × R
    0.00153398000000002 × 0.570297538968353 × 6371000     		do = 5573.51019494481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23469906) × cos(0.96305292) × R
    0.00153398000000002 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 5580.53552563324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96392830)-sin(0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570297538968353-0.57101639094169)×R²
    abs(-0.23469906--0.23623304)×0.000718851973336432×R²
    0.00153398000000002×0.000718851973336432×6371000²
    0.00153398000000002×0.000718851973336432×40589641000000     		ar = 31103314.9095181m²