Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18939 / 14370
↖ ↑ ↗
← N 21.596150°
E 28.070068°		 ← 1 135.88 m → N 21.596150°
E 28.081055°		 →
↑
1 135.89 m
↓
↑
1 135.89 m
↓
N 21.585935°
E 28.070068°		 ← 1 135.96 m →
1 290 277 m²		 N 21.585935°
E 28.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577987670898438 y=0.438552856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577987670898438 × 215)
    floor (0.577987670898438 × 32768)
    floor (18939.5)     		tx = 18939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438552856445312 × 215)
    floor (0.438552856445312 × 32768)
    floor (14370.5)     		ty = 14370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18939 / 14370 ti = "15/18939/14370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18939/14370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18939 ÷ 215
    18939 ÷ 32768     		x = 0.577972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14370 ÷ 215
    14370 ÷ 32768     		y = 0.43853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577972412109375 × 2 - 1) × π
    0.15594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48991511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43853759765625 × 2 - 1) × π
    0.1229248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.386179663339172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48991511} λ = 0.48991511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386179663339172))-π/2
    2×atan(1.47134899454284)-π/2
    2×0.973860130050178-π/2
    1.94772026010036-1.57079632675     		φ = 0.37692393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48991511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.070068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37692393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.596150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18939 KachelY 14370 0.48991511 0.37692393 28.070068 21.596150
    Oben rechts KachelX + 1 18940 KachelY 14370 0.49010686 0.37692393 28.081055 21.596150
    Unten links KachelX 18939 KachelY + 1 14371 0.48991511 0.37674564 28.070068 21.585935
    Unten rechts KachelX + 1 18940 KachelY + 1 14371 0.49010686 0.37674564 28.081055 21.585935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37692393-0.37674564) × R
    0.000178290000000025 × 6371000     		dl = 1135.88559000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37692393-0.37674564) × R
    0.000178290000000025 × 6371000     		dr = 1135.88559000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48991511-0.49010686) × cos(0.37692393) × R
    0.000191749999999991 × 0.929801217500619 × 6371000     		do = 1135.88166199649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48991511-0.49010686) × cos(0.37674564) × R
    0.000191749999999991 × 0.929866824510859 × 6371000     		du = 1135.96181009527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37692393)-sin(0.37674564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929801217500619-0.929866824510859)×R²
    abs(0.49010686-0.48991511)×6.56070102399431e-05×R²
    0.000191749999999991×6.56070102399431e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.56070102399431e-05×40589641000000     		ar = 1290277.13476052m²