Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18938 / 14626
↖ ↑ ↗
← N 18.958246°
E 28.059082°		 ← 1 155.31 m → N 18.958246°
E 28.070068°		 →
↑
1 155.38 m
↓
↑
1 155.38 m
↓
N 18.947856°
E 28.059082°		 ← 1 155.38 m →
1 334 867 m²		 N 18.947856°
E 28.070068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577957153320312 y=0.446365356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577957153320312 × 215)
    floor (0.577957153320312 × 32768)
    floor (18938.5)     		tx = 18938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446365356445312 × 215)
    floor (0.446365356445312 × 32768)
    floor (14626.5)     		ty = 14626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18938 / 14626 ti = "15/18938/14626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18938/14626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18938 ÷ 215
    18938 ÷ 32768     		x = 0.57794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14626 ÷ 215
    14626 ÷ 32768     		y = 0.44635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57794189453125 × 2 - 1) × π
    0.1558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48972337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44635009765625 × 2 - 1) × π
    0.1072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.337092278128235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48972337} λ = 0.48972337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337092278128235))-π/2
    2×atan(1.40086832728149)-π/2
    2×0.950840074185402-π/2
    1.9016801483708-1.57079632675     		φ = 0.33088382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48972337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.059082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33088382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.958246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18938 KachelY 14626 0.48972337 0.33088382 28.059082 18.958246
    Oben rechts KachelX + 1 18939 KachelY 14626 0.48991511 0.33088382 28.070068 18.958246
    Unten links KachelX 18938 KachelY + 1 14627 0.48972337 0.33070247 28.059082 18.947856
    Unten rechts KachelX + 1 18939 KachelY + 1 14627 0.48991511 0.33070247 28.070068 18.947856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33088382-0.33070247) × R
    0.000181349999999969 × 6371000     		dl = 1155.3808499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33088382-0.33070247) × R
    0.000181349999999969 × 6371000     		dr = 1155.3808499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48972337-0.48991511) × cos(0.33088382) × R
    0.000191739999999996 × 0.945755578361627 × 6371000     		do = 1155.31188134509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48972337-0.48991511) × cos(0.33070247) × R
    0.000191739999999996 × 0.945814479621994 × 6371000     		du = 1155.38383368403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33088382)-sin(0.33070247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945755578361627-0.945814479621994)×R²
    abs(0.48991511-0.48972337)×5.89012603671168e-05×R²
    0.000191739999999996×5.89012603671168e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.89012603671168e-05×40589641000000     		ar = 1334866.79331913m²