Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18938 / 10734
↖ ↑ ↗
← N 81.730302°
W127.985230°		 ← 43.93 m → N 81.730302°
W127.982483°		 →
↑
43.90 m
↓
↑
43.90 m
↓
N 81.729907°
W127.985230°		 ← 43.93 m →
1 928 m²		 N 81.729907°
W127.982483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144489288330078 y=0.0818977355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144489288330078 × 217)
    floor (0.144489288330078 × 131072)
    floor (18938.5)     		tx = 18938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0818977355957031 × 217)
    floor (0.0818977355957031 × 131072)
    floor (10734.5)     		ty = 10734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18938 / 10734 ti = "17/18938/10734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18938/10734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18938 ÷ 217
    18938 ÷ 131072     		x = 0.144485473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10734 ÷ 217
    10734 ÷ 131072     		y = 0.0818939208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144485473632812 × 2 - 1) × π
    -0.711029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23376365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0818939208984375 × 2 - 1) × π
    0.836212158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62703797297832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23376365} λ = -2.23376365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62703797297832))-π/2
    2×atan(13.8327362222226)-π/2
    2×1.49862959358642-π/2
    2.99725918717284-1.57079632675     		φ = 1.42646286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23376365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.985230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42646286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.730302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18938 KachelY 10734 -2.23376365 1.42646286 -127.985230 81.730302
    Oben rechts KachelX + 1 18939 KachelY 10734 -2.23371571 1.42646286 -127.982483 81.730302
    Unten links KachelX 18938 KachelY + 1 10735 -2.23376365 1.42645597 -127.985230 81.729907
    Unten rechts KachelX + 1 18939 KachelY + 1 10735 -2.23371571 1.42645597 -127.982483 81.729907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42646286-1.42645597) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dl = 43.8961900005903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42646286-1.42645597) × R
    6.89000000009266e-06 × 6371000     		dr = 43.8961900005903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23376365--2.23371571) × cos(1.42646286) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.143832859119879 × 6371000     		do = 43.9302574333829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23376365--2.23371571) × cos(1.42645597) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.143839677474211 × 6371000     		du = 43.9323399343004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42646286)-sin(1.42645597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143832859119879-0.143839677474211)×R²
    abs(-2.23371571--2.23376365)×6.81835433199995e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.81835433199995e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.81835433199995e-06×40589641000000     		ar = 1928.41663416234m²