Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18934 / 10756
↖ ↑ ↗
← N 81.721606°
W127.996216°		 ← 43.98 m → N 81.721606°
W127.993469°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
N 81.721210°
W127.996216°		 ← 43.98 m →
1 933 m²		 N 81.721210°
W127.993469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144458770751953 y=0.0820655822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144458770751953 × 217)
    floor (0.144458770751953 × 131072)
    floor (18934.5)     		tx = 18934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0820655822753906 × 217)
    floor (0.0820655822753906 × 131072)
    floor (10756.5)     		ty = 10756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18934 / 10756 ti = "17/18934/10756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18934/10756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18934 ÷ 217
    18934 ÷ 131072     		x = 0.144454956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10756 ÷ 217
    10756 ÷ 131072     		y = 0.082061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144454956054688 × 2 - 1) × π
    -0.711090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23395540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082061767578125 × 2 - 1) × π
    0.83587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62598336118668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23395540} λ = -2.23395540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62598336118668))-π/2
    2×atan(13.8181557452149)-π/2
    2×1.49855371008141-π/2
    2.99710742016283-1.57079632675     		φ = 1.42631109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23395540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.996216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42631109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.721606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18934 KachelY 10756 -2.23395540 1.42631109 -127.996216 81.721606
    Oben rechts KachelX + 1 18935 KachelY 10756 -2.23390746 1.42631109 -127.993469 81.721606
    Unten links KachelX 18934 KachelY + 1 10757 -2.23395540 1.42630419 -127.996216 81.721210
    Unten rechts KachelX + 1 18935 KachelY + 1 10757 -2.23390746 1.42630419 -127.993469 81.721210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42631109-1.42630419) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42631109-1.42630419) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23395540--2.23390746) × cos(1.42631109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143983049357561 × 6371000     		do = 43.9761293974607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23395540--2.23390746) × cos(1.42630419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143989877457197 × 6371000     		du = 43.9782148748449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42631109)-sin(1.42630419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143983049357561-0.143989877457197)×R²
    abs(-2.23390746--2.23395540)×6.82809963614694e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82809963614694e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82809963614694e-06×40589641000000     		ar = 1933.23208924104m²