Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18932 / 15345
↖ ↑ ↗
← N 11.340025°
E 27.993164°		 ← 1 197.79 m → N 11.340025°
E 28.004150°		 →
↑
1 197.75 m
↓
↑
1 197.75 m
↓
N 11.329253°
E 27.993164°		 ← 1 197.83 m →
1 434 677 m²		 N 11.329253°
E 28.004150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577774047851562 y=0.468307495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577774047851562 × 215)
    floor (0.577774047851562 × 32768)
    floor (18932.5)     		tx = 18932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468307495117188 × 215)
    floor (0.468307495117188 × 32768)
    floor (15345.5)     		ty = 15345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18932 / 15345 ti = "15/18932/15345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18932/15345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18932 ÷ 215
    18932 ÷ 32768     		x = 0.5777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15345 ÷ 215
    15345 ÷ 32768     		y = 0.468292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5777587890625 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48857288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468292236328125 × 2 - 1) × π
    0.06341552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.199225754820953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48857288} λ = 0.48857288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.199225754820953))-π/2
    2×atan(1.22045745895689)-π/2
    2×0.884358550825808-π/2
    1.76871710165162-1.57079632675     		φ = 0.19792077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48857288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19792077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.340025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18932 KachelY 15345 0.48857288 0.19792077 27.993164 11.340025
    Oben rechts KachelX + 1 18933 KachelY 15345 0.48876463 0.19792077 28.004150 11.340025
    Unten links KachelX 18932 KachelY + 1 15346 0.48857288 0.19773277 27.993164 11.329253
    Unten rechts KachelX + 1 18933 KachelY + 1 15346 0.48876463 0.19773277 28.004150 11.329253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19792077-0.19773277) × R
    0.000187999999999994 × 6371000     		dl = 1197.74799999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19792077-0.19773277) × R
    0.000187999999999994 × 6371000     		dr = 1197.74799999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48857288-0.48876463) × cos(0.19792077) × R
    0.000191749999999991 × 0.9804775382664 × 6371000     		do = 1197.78984448955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48857288-0.48876463) × cos(0.19773277) × R
    0.000191749999999991 × 0.980514487589553 × 6371000     		du = 1197.83498323298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19792077)-sin(0.19773277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9804775382664-0.980514487589553)×R²
    abs(0.48876463-0.48857288)×3.69493231532347e-05×R²
    0.000191749999999991×3.69493231532347e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.69493231532347e-05×40589641000000     		ar = 1434677.42730316m²