Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18932 / 15344
↖ ↑ ↗
← N 11.350797°
E 27.993164°		 ← 1 197.74 m → N 11.350797°
E 28.004150°		 →
↑
1 197.81 m
↓
↑
1 197.81 m
↓
N 11.340025°
E 27.993164°		 ← 1 197.79 m →
1 434 700 m²		 N 11.340025°
E 28.004150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577774047851562 y=0.468276977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577774047851562 × 215)
    floor (0.577774047851562 × 32768)
    floor (18932.5)     		tx = 18932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468276977539062 × 215)
    floor (0.468276977539062 × 32768)
    floor (15344.5)     		ty = 15344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18932 / 15344 ti = "15/18932/15344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18932/15344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18932 ÷ 215
    18932 ÷ 32768     		x = 0.5777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15344 ÷ 215
    15344 ÷ 32768     		y = 0.46826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5777587890625 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48857288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46826171875 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.199417502419434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48857288} λ = 0.48857288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.199417502419434))-π/2
    2×atan(1.22069150118149)-π/2
    2×0.884452551159742-π/2
    1.76890510231948-1.57079632675     		φ = 0.19810878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48857288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19810878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.350797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18932 KachelY 15344 0.48857288 0.19810878 27.993164 11.350797
    Oben rechts KachelX + 1 18933 KachelY 15344 0.48876463 0.19810878 28.004150 11.350797
    Unten links KachelX 18932 KachelY + 1 15345 0.48857288 0.19792077 27.993164 11.340025
    Unten rechts KachelX + 1 18933 KachelY + 1 15345 0.48876463 0.19792077 28.004150 11.340025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19810878-0.19792077) × R
    0.000188010000000016 × 6371000     		dl = 1197.8117100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19810878-0.19792077) × R
    0.000188010000000016 × 6371000     		dr = 1197.8117100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48857288-0.48876463) × cos(0.19810878) × R
    0.000191749999999991 × 0.980440552321094 × 6371000     		do = 1197.74466100707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48857288-0.48876463) × cos(0.19792077) × R
    0.000191749999999991 × 0.9804775382664 × 6371000     		du = 1197.78984448955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19810878)-sin(0.19792077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980440552321094-0.9804775382664)×R²
    abs(0.48876463-0.48857288)×3.69859453058785e-05×R²
    0.000191749999999991×3.69859453058785e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.69859453058785e-05×40589641000000     		ar = 1434699.64542255m²