Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18932 / 14105
↖ ↑ ↗
← N 24.277012°
E 27.993164°		 ← 1 113.61 m → N 24.277012°
E 28.004150°		 →
↑
1 113.65 m
↓
↑
1 113.65 m
↓
N 24.266997°
E 27.993164°		 ← 1 113.70 m →
1 240 219 m²		 N 24.266997°
E 28.004150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577774047851562 y=0.430465698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577774047851562 × 215)
    floor (0.577774047851562 × 32768)
    floor (18932.5)     		tx = 18932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430465698242188 × 215)
    floor (0.430465698242188 × 32768)
    floor (14105.5)     		ty = 14105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18932 / 14105 ti = "15/18932/14105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18932/14105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18932 ÷ 215
    18932 ÷ 32768     		x = 0.5777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14105 ÷ 215
    14105 ÷ 32768     		y = 0.430450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5777587890625 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48857288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430450439453125 × 2 - 1) × π
    0.13909912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.436992776936432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48857288} λ = 0.48857288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436992776936432))-π/2
    2×atan(1.54804489538927)-π/2
    2×0.997255063480888-π/2
    1.99451012696178-1.57079632675     		φ = 0.42371380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48857288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42371380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.277012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18932 KachelY 14105 0.48857288 0.42371380 27.993164 24.277012
    Oben rechts KachelX + 1 18933 KachelY 14105 0.48876463 0.42371380 28.004150 24.277012
    Unten links KachelX 18932 KachelY + 1 14106 0.48857288 0.42353900 27.993164 24.266997
    Unten rechts KachelX + 1 18933 KachelY + 1 14106 0.48876463 0.42353900 28.004150 24.266997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42371380-0.42353900) × R
    0.000174799999999975 × 6371000     		dl = 1113.65079999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42371380-0.42353900) × R
    0.000174799999999975 × 6371000     		dr = 1113.65079999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48857288-0.48876463) × cos(0.42371380) × R
    0.000191749999999991 × 0.911568306226952 × 6371000     		do = 1113.60762194281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48857288-0.48876463) × cos(0.42353900) × R
    0.000191749999999991 × 0.911640161086374 × 6371000     		du = 1113.69540265938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42371380)-sin(0.42353900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911568306226952-0.911640161086374)×R²
    abs(0.48876463-0.48857288)×7.18548594225155e-05×R²
    0.000191749999999991×7.18548594225155e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.18548594225155e-05×40589641000000     		ar = 1240218.90075304m²