Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18932 / 13678
↖ ↑ ↗
← N 28.478349°
E 27.993164°		 ← 1 073.82 m → N 28.478349°
E 28.004150°		 →
↑
1 073.83 m
↓
↑
1 073.83 m
↓
N 28.468691°
E 27.993164°		 ← 1 073.92 m →
1 153 153 m²		 N 28.468691°
E 28.004150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577774047851562 y=0.417434692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577774047851562 × 215)
    floor (0.577774047851562 × 32768)
    floor (18932.5)     		tx = 18932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417434692382812 × 215)
    floor (0.417434692382812 × 32768)
    floor (13678.5)     		ty = 13678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18932 / 13678 ti = "15/18932/13678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18932/13678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18932 ÷ 215
    18932 ÷ 32768     		x = 0.5777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13678 ÷ 215
    13678 ÷ 32768     		y = 0.41741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5777587890625 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48857288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41741943359375 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.518869001487488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48857288} λ = 0.48857288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518869001487488))-π/2
    2×atan(1.68012635431287)-π/2
    2×1.03391863849609-π/2
    2.06783727699218-1.57079632675     		φ = 0.49704095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48857288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49704095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.478349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18932 KachelY 13678 0.48857288 0.49704095 27.993164 28.478349
    Oben rechts KachelX + 1 18933 KachelY 13678 0.48876463 0.49704095 28.004150 28.478349
    Unten links KachelX 18932 KachelY + 1 13679 0.48857288 0.49687240 27.993164 28.468691
    Unten rechts KachelX + 1 18933 KachelY + 1 13679 0.48876463 0.49687240 28.004150 28.468691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49704095-0.49687240) × R
    0.00016854999999999 × 6371000     		dl = 1073.83204999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49704095-0.49687240) × R
    0.00016854999999999 × 6371000     		dr = 1073.83204999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48857288-0.48876463) × cos(0.49704095) × R
    0.000191749999999991 × 0.878997361916594 × 6371000     		do = 1073.81767796371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48857288-0.48876463) × cos(0.49687240) × R
    0.000191749999999991 × 0.879077718559408 × 6371000     		du = 1073.91584479257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49704095)-sin(0.49687240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878997361916594-0.879077718559408)×R²
    abs(0.48876463-0.48857288)×8.03566428141389e-05×R²
    0.000191749999999991×8.03566428141389e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.03566428141389e-05×40589641000000     		ar = 1153152.54852768m²